InfoNu.nl > Wetenschap > Wiskunde > De booglengte van een kromme bepalen met Pythagoras

De booglengte van een kromme bepalen met Pythagoras

De booglengte van een kromme bepalen met Pythagoras Voor een kromme lijn valt uit een formule lastig op te maken hoe lang bepaalde lijndelen zijn. Om dat te kunnen bepalen kan via differentiatie gecombineerd met integreren de lengte worden berekend. Hoe kun je voor bepaalde gekromde lijnen over een afstand de booglengte bepalen en hoe zet je daartoe Pythagoras handig in?

Booglengte uitrekenen met Pythagoras


Oplossing middels Stelling van Pythagoras

De afstand over een bepaalde kromming wordt standaard bepaald door de lijn in kleine rechte deeltjes op te snijden en daarvan een rechte lijn te maken. Dat is uiteraard veel werk. Middels de stelling van Pythagoras kan snel uitkomst worden gevonden aangezien deze stelling van zowel de x als y waarde gebruik maakt. Daarbij geldt dat z = √(x^2+y^2) = √(Δx^2+Δ^2) en dat kan worden herschreven als z = √(1+Δy^2/Δx^2) en z = √(1+Δx^2/Δy^2). Deze verhouding geeft eveneens een grafische weergave van de lengte van een lijndeel. Door alle opgetelde delen te nemen en de lengte van de deeltjes oneindig klein te maken kan het oppervlak van de lengte worden verkregen door s = ∫√(1+(Δy/Δx)^2) dx. De oplossing van de integraal vertegenwoordigt de lengte van die kromme over het interval. Let wel door het differentiëren vervallen losstaande getallen omdat er puur naar de richtingscoëfficiënt (rc-waarde) van de x of y wordt gekeken en niet naar de hoogte of ligging van de grafiek.

Voorbeeld oplossingen booglengte

Hoe gaat dit nu in zijn werk? Stel je voor er is sprake van een y = 1/9*x*√x + 6 = 1/9*x^(3/2) + 6. Dan geldt voor de booglengte over (0-3) dat dy/dx = 1/9*3/2*x^(3/2-2/2) (6 vervalt) = 3/18*x^(1/2) = 1/6*x^(1/2). Oftewel:
  • s = ∫√1+(1/6*x^(1/2))^2) dx = ∫√1+1/36*x dx = 1/6*∫√36+x dx;
  • stel u = 36+x -> du = dx -> x=0 tot 3 wordt u = 36 tot 39;
  • s = 1/6*∫√ u^(1/2) du = 1/6*2/3* u^(3/2) = 1/9*(39^(3/2)-36^(3/2)) = 3,06 (Suggereert over x=3 een zeer vlak liggende lijn).

Stel je voor er is sprake van y = 2/3*x^(3/2):
  • dx/dy = 3/2*2/3*x(3/2-2/2) = √x;
  • s = ∫√1+(√x)^2 dy = √∫(1+x) dx;
  • stel u = 1+x dan geldt:
  • s = ∫ u^(1/2) du = 2/3*u^(3/2) = 2/3*(1+x)^3/2;
  • over (0-3) bedraagt s = 2/3*((3+1)^(3/2)-(1+0)^(3/2)) = 4,67 (Sneller stijgende kromming).

Aanvullend voorbeeld

Bekijken we de gebruikte functies binnen artikel “Oppervlak en evenwichtslijn tussen twee formules bepalen” dan resulteert het in het volgende. Er is sprake van twee lijnen zijnde y=3*x en y=1/2*x^2+3.
De booglengte voor de rechte lijn y=3*x tussen de snijpunten kan op twee manieren worden bepaald. Enerzijds kan het rechtlijnig worden bepaald, maar het kan ook middels booglengte-bepaling worden berekend:
  • dx/dy = 3;
  • s = ∫√(1+3^2) dx = x*√10 over 3-√3 tot 3+√3 geldt -> 2*√3*√10 = 10,95.

De booglengte voor y=1/2*x^2+3 over de snijpunten met y=3*x wordt als volgt bepaald:
  • dy/dx = x;
  • s = ∫√(1+x^2) dx
  • over 3-√3 tot 3+√3 geldt = (3+√3)/2*√((3+√3)^2+1)+1/2*ln(3+√3+√((3+√3)^2+1) - (3-√3)/2*√((3-√3)^2+1)+1/2*ln(3-√3+√((3-√3)^2+1) = 12,57 – 1,55 = 11,02.

Ondanks dat de ene lijn ietsjes langer is over het interval kan er reeds een aardig oppervlak zijn ingesloten.

Lees verder

© 2013 - 2019 Geinformeerd, het auteursrecht (tenzij anders vermeld) van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Stelling van PythagorasStelling van PythagorasMet de stelling van Pythagoras kun je de lengtes van de zijden van een rechthoekige driehoek berekenen. De stelling is r…
Filosoof uitgelicht; Pythagoras van SamosFilosoof uitgelicht; Pythagoras van SamosDe stelling van Pythagoras, deze stelling is bekend bij velen. Maar wie was nu Pythagoras. Een educatieve toelichting op…
Het bewijzen van de stelling van PythagorasIn dit artikel wordt uitgelegd hoe de stelling van Pythagoras op twee manieren bewezen kan worden. Het is geschreven voo…
Pythagoras, de wiskundige en filosoofPythagoras, de wiskundige en filosoofPythagoras was een Griekse wiskundige en filosoof die zeer veel verschillende experimenten heeft uitgevoerd. Het grootst…
RuimtemeetkundeRuimtemeetkundeJe komt het de hele dag tegen, waarschijnlijk onbewust; ruimtemeetkunde. Dit heeft alles te maken met de aanzichten van…
Bronnen en referenties
  • Wiskunde voor het Hoger Onderwijs deel I, R. van Asselt, C.A.G Kooten, ed, Groningen, 2002
  • http://www.sosmath.com/tables/integral/integ11/integ11.html

Reageer op het artikel "De booglengte van een kromme bepalen met Pythagoras"

Plaats een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Ik ga akkoord met de privacyverklaring en ben bekend met de inhoud hiervan
Reactie

T. J. M. Steijn, 21-10-2013 00:38 #1
Helaas moet ik een vervelende opmerking plaatsen omdat ik bij ieder onderwerp waar ik de tekst van de website wilde kopiëren om het later nog eens te bekijken, ik iedere keer met de voorwaarden wel of niet akkoord moest gaan. Ik heb de website tussendoor niet verlaten en waarom moet ik dan elke keer akkoord gaan met de voorwaarden.
Ik ben nu 70 jaar en kan misschien nog iets bij leren van wat ik in mijn jeugd heb moeten ontberen. Ik neem het nog steeds de opvoeders kwalijk dat men mij niet de kans hebben gegeven om door te leren ondanks het advies van de ambachtsschool waar op ik zat. Reactie infoteur, 21-10-2013
Beste hr. Steijn,

Omdat het kopieerrecht bij de auteur van het werk ligt, zijn de voorwaarden automatisch eraan gekoppeld. Dit is gedaan om de belangen van de auteur te beschermen. Het houdt in dat u met de voorwaarden akkoord moet gaan.

Slechts vervaardiging van kopieën en downloads voor persoonlijk en privé gebruik van inhoud op InfoNu zonder verdere verspreiding met derden is toegestaan.

Infoteur: Geinformeerd
Laatste update: 09-10-2018
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Special: Zwaartepunt
Bronnen en referenties: 2
Reacties: 1
Schrijf mee!