Hoe kun je de uitkomst van (a+b)^n gemakkelijk bepalen?

Formules waarbij een combinatie van a+b tot de zoveelste macht (a+b)^n moet worden berekend, kan bij een hoge n-waarde veel schrijfwerk geven. Probleem daarbij is dat men mogelijk snel het overzicht verliest, waardoor fouten in de oplossing kunnen sluipen. Om dit op te lossen kan een combinatie van het binomium van Newton met de driehoek van Pascal worden toegepast. Wat houdt deze manier van rekenen in en hoe wordt het toegepast?

Binominaalcoëfficiënt: de faculteit

Twee boven elkaar staande getallen tussen haakjes wordt de binominaalcoëfficiënt genoemd. Het bepaalt een noemer en deler, waarbij faculteiten worden toegepast. Een faculteit van een getal bepaalt de vermenigvuldiging van alle voorgaande getallen met dat getal, oftewel 5! = 5*4*3*2*1 = 120. De binominaalcoëfficiënt bijvoorbeeld (5/3) is gelijk aan 5!/(3!*2!) = 5*4*3*2*1/(3*2*1*2*1) = 5*4/(2*1) = 10. Deze manier van rekenen wordt binnen de driehoek van Pascal toegepast.

Driehoek van Pascal

Voorgaande faculteitberekening is door Pascal toegepast binnen zijn driehoek, waarmee een wiskundige driehoek is bereikt. De uitkomst van die reeks bouwt zichzelf als volgt op:

(0/0) = 0;
(1/0) (1/1) = 1 1;
(2/0) (2/1) (2/2) = 1 2 1;
(3/0) (3/1) (3/2) (3/3) = 1 3 3 1;
(4/0) (4/1) (4/2) (4/3) (4/4) = 1 4 6 4 1;
(5/0) (5/1) (5/2) (5/3) (5/4) (5/5) = 1 5 10 10 5 1.
...

Deze getallenreeks vormt de basis voor het oplossen van (a+b)^n formules.

Uitschrijven van de formules (a+b)^n

Wil je zelf afleiden wat de uitkomst van “tot de macht” formules is, dan dien je het uit te schrijven. Omdat (a+b) tot de n-de macht wordt herhaald, zal het met een groter wordende n-factor een toenemende formule qua lengte worden. Voor de (a+b)^n functie wordt dit als volgt gedaan:

(a+b)^0 = 1
(a+b)^1 = 1*a + 1*b = a + b;
(a+b)^2 = (a+b)*(a+b) = a^2 + a*b + a*b + b^2 = a^2 + 2*a*b + b^2;
(a+b)^3 = (a+b)*(a+b)*(a+b) = a^3 + a^2*b + a*b^2 + a^2*b + a*b^2 + a^2*b + a*b^2 + b^3 = a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3;
...

Je ziet dat er bij een toenemende grootte van n, een lange reeks moet worden uitgeschreven. Een handige oplossing kan worden gevonden in de driehoek van Pascal. De oplossing van voorgaande formules komt overeen met de ontwikkeling van de driehoek. Oftewel via faculteit-rekenen kan voor iedere waarde van n binnen (a+b)^n worden bepaald hoe de formule eruitziet. Hoe is dit gerelateerd aan het Bionomium van Newton?

Binomium van Newton

De uitgeschreven formules hebben een exacte uitkomst, overeenkomstig de reeks van Pascal. Dit betekent dat je met een n-de macht direct de formule kunt opschrijven, door gebruik te maken van deze gegevens. Het binomium van Newton stelt daartoe het volgende:

(a+b)^n = ∑ (n/k) a^(n-k)b^k van k=0 tot k=n.

Kijken we naar voorbeelden van (a+b)^5 of (a+b)^8 dan kunnen we dat rechtstreeks als volgt uitschrijven:

(a+b)^5 = 1*a^5+ 5*a^4*b + 10*a^3*b^2 + 10*a^2*b^3 + 5*a*b^4 + 1*b^5.
(a+b)^8 = 1*a^8+8*a^7*b+28*a^6*b^2+56*a^5*b^3+70*a^4*b^4+56*a^3*b^5+28*a^2*b^6+8*a*b^7+1*b^8.

Voorgaande betekent dat je op een handige manier via de driehoek van Pascal formules tot de zoveelste macht handig kunt bepalen, zonder dat je veel moeten uitschrijven. Doe je voordeel door complexe formules middels voorgaande oplossing van (a+b)^n aan te pakken.