InfoNu.nl > Wetenschap > Wiskunde > Bepalen zwaartepunt complexe figuren: statisch moment

Bepalen zwaartepunt complexe figuren: statisch moment

Bepalen zwaartepunt complexe figuren: statisch moment Krijg je te maken met samengestelde oppervlakten of een combinatie van verschillende formules over meerdere intervallen (bereik en domein), dan moet voor de oppervlakbepaling een samengestelde integraal worden opgesteld. Wil je van een complex figuur het zwaartepunt oftewel het algeheel evenwichtspunt bepalen, dan moet je het statisch moment ten opzichte van x-as en y-as achterhalen. Hoe reken je dat middels integreren uit?

Zwaartepunt complexe figuren uitrekenen


Waarom oppervlakte te bepalen?

Het totaal aan oppervlak onder een lijn kan de totale omzet van een bedrijf inhouden. Ook kan het betekenen hoeveel water per tijdseenheid door een rivier wordt afgevoerd. De formule welke de lijnvorm beschrijft legt dus vast hoeveel wordt gescoord bij een bepaalde x (tijd, afstand, ed.). Het kan daarbij uitermate nuttig zijn om het oppervlak te weten, omdat het meer vertelt over het totaalbeeld. Over welk deel wordt een oppervlak bepaald? Het antwoord hierop is afhankelijk van het interessegebied van de gebruiker. Soms wil men het ingevangen oppervlak weten tussen twee lijnen en soms is het juist om over een beperkte tijdseenheid de omzet te bepalen.

Gebruik van een domein

Voorgaande betekent dat er van tijd x tot x+Δx het oppervlak onder een grafiek moet worden bepaald. Deze waarde x tot x+Δx vertegenwoordigt het domein (x-interval), waarover de opgetelde waarde van het bereik (y-resultaat) moet worden bepaald. Indien er sprake is van een samengesteld figuur dan kan over de verschillende vormen apart een domein worden vastgesteld, indien daarover de bijbehorende formules zijn bepaald. Het vormt de grondslag van meerdere integralen per figuur om zo het samengestelde oppervlak te kunnen bepalen.

Meerdere vormen maken een geheel

Figuren kunnen uit enkele lijnen of samengestelde lijnen bestaan, waarmee een oppervlak wordt bepaald. Het kan bijvoorbeeld constructieve waarde hebben, omdat er krachten inwendig mee opgenomen kunnen worden. Het is dus noodzaak om het complete oppervlak tussen de verschillende domeinen te bepalen, om de opgetelde doorsnede onder de formules te kunnen vastleggen.

Ontleden van de deelfiguren: voorbeeld

Bron: Http://geinformeerd.infoteur.nlBron: Http://geinformeerd.infoteur.nl
Stel je voor er is sprake van een samengesteld figuur bestaande uit drie lijndelen. Dat houdt in dat de doorsnede voor de oppervlakte bepaling eveneens in drie domein gebieden kan worden opgedeeld:
  • y1 = 1/2*x^2 van 0 tot 3;
  • y2 = -1/2*x+6 van 3 tot 6;
  • y3 = -3/2*x+12 van 6 tot 8.

Daarbij wordt de basis gesteld op y=0 zodat de ingesloten figuur wordt verkregen. Wat zijn de afzonderlijke integralen en hoe wordt daarmee gerekend?:
  • ∫D1 = ∫1/2*x^2 dx = 1/6*x^3 (0-3) = 1/6*3^3-0 = 4,5;
  • ∫D2 = ∫-1/2*x+6 dx = -1/4*x^2+6*x (3-6) = -1/4*6^2+6*6 (-1/4*3^2+6*3) = 11,25;
  • ∫D3 = ∫-3/2*x+12 dx = -3/4*x^2+12*x (6-8) = -3/4*8^2+12*8 (-3/4*6^2+12*6) = 3,0;
  • totale oppervlak = 4,5 + 11,25 + 3,0 = 18,75.

Interval bij neutrale lijn berekening tov y-as

Wordt de evenwichtslijn ten opzichte van de y-as bepaald dan worden dezelfde domeinen gebruikt. Er dient over het oppervlak echter de Si waarde oftewel het momentane oppervlak worden bepaald:
  • Si∫D1 = ∫x*1/2*x^2 dx = ∫1/2*x^3 dx = 1/8*x^4 (0-3) = 1/8*3^4-0 = 10,13;
  • Si∫D2 = ∫x*(-1/2*x+6) dx = ∫-1/2*x^2+6*x) dx = -1/6*x^3+3*x^2 (3-6) = -1/6*6^3+3*6^2 (-1/6*3^3+3*3^2) = 49,50;
  • Si∫D3 = ∫x*(-3/2*x+12) dx = ∫-3/2*x^2+12*x dx = -1/2*x^3+6*x^2 (6-8) = -1/2*8^3+6*8^2 (-1/2*6^3+6*6^2) = 20;
  • totale Si;y statisch moment ten opzichte van y-as = 10,13+49,50+20 = 79,63;
  • positie evenwichtslijn: x = 79,63 / 18,75 = 4,25.

Statisch moment bepaling tov x-as

Ten opzichte van de x-as dienen de formules eerst omgezet te worden naar x waarden:
  • omzetting y1 naar x1: x = (2*y)^(1/2);
  • omzetting y2 naar x2: y-6 = -1/2*x -> x = -2*y+12;
  • omzetting y3 naar x3: y-12 = -3/2*x -> -2/3*(y-12) = x -> x = -2/3*y + 8.
Voor de Si:x bepaling gelden twee intervallen zijnde van y 0 tot 3 en van 3 tot 4,5:
  • Si∫B1 = ∫y*[-2/3*y+8 (2*y)^(1/2)] dy = ∫[-2/3*y^2+8*y √2*y^(3/2)] dy = -2/9*y^3+4*y^2 2*√2/5 *y^(5/2) (0-3) = -2/9*3^3+4*3^2 2*√2/5 *3^(5/2) = 21,18;
  • Si∫B2 = ∫y*[-2*y+12 - (2*y)^(1/2)] dy = ∫[-2*y^2 + 12*y √2*y^(3/2)] dy = -2/3*y^3+6*y^2 2*√2/5 *y^(5/2) (3-4,5) = -2/3*4,5^3+6*4,5^2 2*√2/5 *4,5^(5/2) (-2/3*3^3+6*3^2 2*√2/5 *3^(5/2)) = 9,27;
  • totale Si;x statisch moment ten opzichte van x-as = 21,18+9,27 = 30,45;
  • positie evenwichtslijn: y = 30,45 / 18,75 = 1,62.

Zie voor een samenvatting van voorgaande oppervlakten en evenwichtslijnen de aangegeven figuur.

Lees verder

© 2013 - 2019 Geinformeerd, het auteursrecht (tenzij anders vermeld) van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Hoe kun je een ligger op drie steunpunten doorrekenen?Hoe kun je een ligger op drie steunpunten doorrekenen?Heb je een ligger op twee steunpunten dan kun je het vrij simpel en rechtlijnig uitrekenen, echter bij een ligger op dri…
Tips tegen statisch haarEen veel voorkomend probleem in de winter is statisch haar. Het is natuurlijk geen kijk als je haar rechtop staat en als…
De zin en onzin van stretchen bij krachttrainingDe zin en onzin van stretchen bij krachttrainingWanneer mensen aan krachttraining doen, rekken ze hierbij vaak niet. Is dit terecht, of zou het beter zijn om voor en na…
Help, mijn haar is statisch!Help, mijn haar is statisch!Je kent het wel: de herfst is weer ingetreden en de winter staat ook alweer voor de deur. Het wordt buiten steeds kouder…
De eerste wet van Newton: staticaDe statica gaat uit van lichamen in evenwicht: doordat iedere kracht die op een lichaam werkt wordt gecompenseerd door e…
Bronnen en referenties
  • Inleidingsfoto: http://geinformeerd.infoteur.nl
  • Wiskunde voor het Hoger Onderwijs deel I, R. van Asselt, C.A.G Kooten, ed, Groningen, 2002
  • Afbeelding bron 1: http://geinformeerd.infoteur.nl

Reageer op het artikel "Bepalen zwaartepunt complexe figuren: statisch moment"

Plaats als eerste een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Ik ga akkoord met de privacyverklaring en ben bekend met de inhoud hiervan
Infoteur: Geinformeerd
Laatste update: 20-03-2019
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Special: Zwaartepunt
Bronnen en referenties: 3
Schrijf mee!