De getallenverzameling der gehele getallen

De getallenverzameling der gehele getallen is een verdere uitbreiding van de getallenverzameling der natuurlijke getallen. Het woord zegt het zelf: elk getal van deze verzameling is een geheel op zich. Geen breukvormen, decimalen of worteltekens om maar enkele uitgesloten getalvormen te noemen.

Definitie

De gehele getallen zijn alle positieve en negatieve getallen, inclusief het getal nul. Het kleinste en het grootste geheel getal is onbekend. Immers, de getallenverzameling der gehele getallen is een oneindige getallenverzameling.

Notatie

De getallenverzameling der gehele getallen wordt voorgesteld door het symbool Z (afkomstig van het Duitse woord voor getal: Zahl). Men schrijft aldus:

Deelverzamelingen van Z

De getallenverzameling der gehele getallen is opgebouwd uit een aantal deelverzamelingen. Deze zijn:

• De positieve gehele getallen (met nul): Z,+ of N
• De strikt-positieve gehele getallen (zonder nul): Zο,+
• De negatieve gehele getallen (met nul): Z,-
• De strikt-negatieve gehele getallen (zonder nul): Zο,-

Bespreking

Het verschil met de getallenverzameling der natuurlijke getallen is dat er hier van elk natuurlijk getal een tegengesteld getal opgegeven kan worden. Hierdoor kunnen we het begrip "toestandsteken" introduceren. Dit zijn het plusteken en het minteken dat we voor een getal kunnen plaatsen. Echter, positieve getallen voorzien we niet van een plusteken maar negatieve getallen daarentegen voorzien we wel van een minteken. Een ander begrip dat hier te pas komt is de absolute waarde van een geheel getal. Dit is gewoon de waarde van het getal zonder toestandsteken. Men noteert dit als volgt:


Evenzo is het tegengestelde van een geheel getal, dit zelfde getal voorzien van het andere toestandsteken of nog het getal met dezelfde absolute waarde voorzien van het andere toestandsteken. Men noteert dit als volgt:

Bewerkingen met gehele getallen

Optellen

Hier zijn er twee mogelijkheden. Ofwel hebben de termen van de optelling hetzelfde toestandsteken, ofwel hebben ze een verschillend toestandsteken. In het eerste geval zal men als uitkomst een geheel getal met hetzelfde toestandsteken bekomen en in het tweede geval zal men het toestandsteken bekomen van het getal met de grootste absolute waarde. Vervolgens telt men in het eerste geval gewoon de absolute waarden van de gehele getallen op en in het tweede geval trekt men de kleinste absolute waarde van de grootste absolute waarde af. Zijn twee gehele getallen die men wil optellen tegengesteld aan elkaar, dan is hun som nul. Indien men de som van twee gehele getallen van toestandsteken wil veranderen, zal men elke term van de som van toestandsteken moeten veranderen.Men kan dit laatste als volgt noteren:


Hierin zijn a en b gehele getallen.

Aftrekken

Het van elkaar aftrekken van twee gehele getallen is hetzelfde als zou men het tegengestelde van het af te trekken geheel getal optellen bij het eerste geheel getal. Men noteert:


Hierin zijn a en b gehele getallen.

Vermenigvuldigen

Wanneer men twee gehele getallen met elkaar wil vermenigvuldigen is het belangrijk te weten welk toestandsteken de uitkomst moet krijgen. Hiervoor gelden de volgende regels:

• + . + = +
• - . - = +
• + . - = -
• - . + = -

Anders gezegd: twee gelijke toestandstekens geven een positieve uitkomst en twee verschillende toestandstekens geven een negatieve uitkomst. Het vermenigvuldigen zelf gebeurt door de absolute waarden van beide gehele getallen met elkaar te vermenigvuldigen. Indien men het product van twee gehele getallen van teken wil veranderen, moet men één term van teken veranderen. Men noteert:


Hierin zijn a en b gehele getallen.
Immers, als men beide termen a en b van teken verandert, dan verandert hun product niet van teken, ofwel:


Hierin zijn a en b gehele getallen.

Delen

Bij het delen van twee gehele getallen gelden er opnieuw vaste regels voor het toestandsteken van de uitkomst. Deze zijn:

• + : + = +
• - : - = +
• + : - = -
• - : + = -

Anders gezegd: twee gelijke toestandstekens geven een positieve uitkomst en twee verschillende toestandstekens geven een negatieve uitkomst. Het delen zelf gebeurt door de absolute waarden van beide gehele getallen door elkaar te delen.

Machtsverheffen

Voor het machtsverheffen van een geheel getal zijn twee dingen van belang, namelijk het toestandsteken van het grondtal en de hoedanigheid (even of oneven) van de exponent. Hiervoor gelden de volgende regels:


Indien de exponent gelijk is aan 0 of 1 ontstaat het volgende resultaat voor elk geheel getal a (uitgezonderd voor a = 0):

• a° = 1 en a¹ = a

Eigenschappen van de bewerkingen in Z

De optelling in Z is commutatief

Dit betekent dat wanneer men twee gehele getallen met elkaar optelt, men hun termen van plaats mag verwisselen. Men noteert:


Hierin zijn a en b gehele getallen.

De vermenigvuldiging in Z is commutatief

Dit betekent hetzelfde als hierboven, maar dan voor de vermenigvuldiging van twee gehele getallen. Men noteert:


Hierin zijn a en b gehele getallen.

De optelling in Z is associatief

Wanneer men meer dan twee gehele getallen optelt, mag men de haakjes van plaats veranderen of zelfs weglaten. Men noteert:


Hierin zijn a, b en c gehele getallen.

De vermenigvuldiging in Z is associatief

Wanneer men meer dan twee gehele getallen met elkaar wil vermenigvuldigen, mag men de haakjes van plaats veranderen of zelfs weglaten. Men noteert:


Hierin zijn a, b en c gehele getallen.

De optelling en vermenigvuldiging in Z zijn distributief

Vermenigvuldigt men een geheel getal met een som van twee of meer andere gehele getallen, dan mag men dit eerste geheel getal vermenigvuldigen met elke term van de som van de andere gehele getallen en de verkregen producten met elkaar optellen. Men noteert:


Hierin zijn a, b en c gehele getallen.