De getallenverzameling der natuurlijke getallen

Deze verzameling getallen mag beschouwd worden als opgebouwd uit de eenvoudigste getallen die we kennen. Het zijn de getallen waar we mee tellen en die we dagelijks gebruiken.

Definitie

Natuurlijke getallen zijn positieve gehele getallen. Te beginnen bij nul (0), dat het eerste natuurlijke getal is, tellen we verder via 1, 2, 3, 4, 5, ... . De waarde van het grootste natuurlijke getal kunnen we, logischerwijs, niet bepalen. Daarom zegt men dat de getallen-
verzameling der natuurlijke getallen een oneindige verzameling is.

Notatie

De getallenverzameling der natuurlijke getallen wordt voorgesteld door het symbool N. Men schrijft aldus:

• N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Even en oneven natuurlijke getallen

Natuurlijke getallen kan men opdelen in twee groepen: de even en de oneven natuurlijke getallen. Getallen die zich laten schrijven in de notatie n + n = 2n, waarbij n een element is van de verzameling der natuurlijke getallen , noemt men even natuurlijke getallen. Men krijgt aldus de verzameling {0, 2, 4, 6, 8, ... }. Evenzo zijn getallen die zich laten schrijven in de notatie 2n + 1, waarbij n een element is van de verzameling der natuurlijke getallen, oneven natuurlijke getallen. Men krijgt aldus de verzameling {1, 3, 5, 7, 9, ...}.

Opmerking

De verzameling der natuurlijke getallen N is gelijk aan een andere wiskundige getallenverzameling, namelijk deze van de positieve gehele getallen, genoteerd als Z,+. Men mag dus schrijven:

• N = Z,+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Een bijzonder natuurlijk getal: het getal nul

Betekenis van het getal nul

Het woord nul stamt af van het Latijnse woord nullus. Dit is op zijn beurt samengesteld uit de woorden ne (niet) en ullus (één), wat resulteert in de letterlijke betekenis "niet één" of de feitelijke betekenis "geen". Het symbool dat we gebruiken voor nul komt uit het Sanskriet. Nul is een speciaal getal. Afhankelijk van de manier waarop je er naar kijkt, kan je het beschouwen als zowel positief als negatief of juist als niet positief en niet negatief. Misschien is het het minst verwarrend als we aannemen dat het een neutraal getal is.

Geschiedenis

Oorspronkelijk maakte het getal nul geen deel uit van de getallenverzameling der natuurlijke getallen. Immers, als men begon te tellen (bijvoorbeeld op zijn vingers), begon men altijd met het getal 1 en niet met het getal nul. Vandaar dat deze laatste niet bij de natuurlijke getallen gerekend werd. Nochtans maakte het getal nul reeds vroeg zijn opwachting. De Babyloniërs gaven het vanaf ongeveer 1500 vóór Christus de naam ma-ti, wat "ontbrekend" betekent. De Egyptenaren daarentegen hadden rond die tijd het symbool nfr, wat staat voor "volledig". Ook in Indië (de Jaina traditie vanaf 200 vóór Christus) en bij de Maya-beschaving (vanaf 100 vóór Christus) kende men de nul. Vanuit Indië werd het gebruik van het getal nul overgebracht naar de Chinezen en de Arabieren. Deze laatsten brachten de nul uiteindelijk tot bij ons in de westerse wereld rond het jaar 1300 na Christus. In de 19de eeuw plaatste de Italiaanse wiskundige Giuseppe Peano (1858-1932) het getal nul bij de getallenverzameling der natuurlijke getallen. Zijn axioma's waren:


Sindsdien rekent men het getal nul steevast bij de getallenverzameling der natuurlijke getallen.

Bewerkingen met het getal nul

• Optellen: x + 0 = x en 0 + x = x
• Aftrekken: x - 0 = x en 0 - x = -x
• Vermenigvuldigen: x . 0 = 0 en 0 . x = 0
• Delen: delen door nul is voor geen enkele waarde van x (ook niet voor nul zelf) gedefinieerd. Men kan dus niet delen door nul. De enige uitzondering hierop is als men 0 deelt door x, want dit is 0 zelf (geldt niet als x = 0)
• Machtsverheffen: x° = 1 (als x ≠ 0) en 0 tot de macht x is 0 (als x ≠ 0 en een positief reële waarde is)