InfoNu.nl > Wetenschap > Wiskunde > Oplossen van vergelijkingen met de positieve gehele getallen

Oplossen van vergelijkingen met de positieve gehele getallen

Oplossen van vergelijkingen met de positieve gehele getallen Een wiskundige vergelijking bestaande uit positieve gehele getallen is een gelijkheid waarin een onbekende term x verwerkt zit. Deze laatste term, welke een geheel getal is, moet gevonden worden.

Definitie

Men spreekt over Z,+; als de groep van de positieve gehele getallen (inclusief 0), als deelverzameling van de getallenverzameling Z der gehele getallen. Neemt men enkel de strikt-positieve gehele getallen; Zο,+; dan betekent dit gewoonweg dat het getal 0 geen deel meer uitmaakt van deze verzameling. Men noteert achtereenvolgens:
  • Z,+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
  • Zο,+ = {1, 2, 3, 4, 5, ... }
In beide verzamelingen; Z,+ en Zο,+; is het kleinste element bekend (respectievelijk 0 en 1), maar is het grootste element niet bekend. In wat volgt zullen wij ons bezighouden met het aanleren van de bewerkingen optellen en aftrekken in Z,+.

Rekenregels bij het optellen en aftrekken in Z,+

De optelling in Z,+ is commutatief

Als men twee positieve gehele getallen bij elkaar optelt, mag men de termen van plaats verwisselen. Men noteert:
  • a + b = b + a
Hierin zijn a en b positieve gehele getallen.

Het overbrengen van een term naar het andere lid

Wanneer men een term van lid verandert, verandert zijn teken. Anders gezegd: optellen in het ene lid wordt aftrekken in het andere lid en aftrekken in het ene lid wordt optellen in het andere lid. Men noteert:
  • x + a = b ↔ x = b - a
  • x - a = b ↔ x = b + a
Hierin zijn a en b positieve gehele getallen en is x een onbekend geheel getal. Het symbool ↔ betekent "dan en slechts dan als" en drukt een wederkerige relatie uit.

Rekenregels bij het optellen en aftrekken van gehele getallen

Bij het invullen van de proef (zie later) kan men soms met bepaalde van de onderstaande bewerkingen te maken krijgen:
  • a + (+ b) = a + b
  • a + (- b) = a - b
  • a - (+ b) = a - b
  • a - (- b) = a + b
Hierin zijn a en b gehele getallen. De laatste bewerking vinden we bijvoorbeeld terug bij de proef van voorbeeld 4 en 5.

Proef

Nadat men een vergelijking in Z,+ opgelost heeft, kan er een proef uitgevoerd worden die uittest of de gevonden oplossing wel klopt. Hierbij vult men de gevonden waarde voor x in de opgave in. Zijn linkerlid en rechterlid aan elkaar gelijk, dan is de gevonden oplossing juist.

Voorbeelden

  1. x + 6 - 8 = 3
    • We hernemen de opgave en krijgen:
    • x + 6 - 8 = 3 ↔ x + 6 = 3 + 8 ↔ x = 3 + 8 - 6 ↔ x = 5
    • De verzameling der oplossingen is dus: V = {5}.
    • Invullen van de gevonden waarde voor x in de opgave levert:
    • x + 6 - 8 = 3 ↔ 5 + 6 - 8 = 3 ↔ 3 = 3
  2. 16 - 12 = 8 - x + 1
    • We hernemen de opgave en krijgen:
    • 16 - 12 = 8 - x + 1 ↔ 4 = 8 - x + 1 ↔ x + 4 = 8 + 1 ↔ x = 8 + 1 - 4 ↔ x = 5
    • De verzameling der oplossingen is dus: V = {5}.
    • Invullen van de gevonden waarde voor x in de opgave levert:
    • 16 - 12 = 8 - x + 1 ↔ 16 - 12 = 8 - 5 + 1 ↔ 4 = 4
  3. 10 + x = 15 + 8 - 7
    • We hernemen de opgave en krijgen:
    • 10 + x = 15 + 8 - 7 ↔ x = 15 + 8 - 7 - 10 ↔ x = 6
    • De verzameling der oplossingen is dus: V = {6}.
    • Invullen van de gevonden waarde voor x in de opgave levert:
    • 10 + x = 15 + 8 - 7 ↔ 10 + 6 = 15 + 8 - 7 ↔ 16 = 16
  4. 6 - x = 10 + 2
    • We hernemen de opgave en krijgen:
    • 6 - x = 10 + 2 ↔ 6 = 10 + 2 + x ↔ x + 2 = 6 - 10 ↔ x = 6 - 10 - 2 ↔ x = - 6
    • De verzameling der oplossingen is dus: V = {- 6}.
    • Invullen van de gevonden waarde voor x in de opgave levert:
    • 6 - x = 10 + 2 ↔ 6 - (- 6) = 10 + 2 ↔ 6 + 6 = 10 + 2 ↔ 12 = 12
  5. 14 - 2 - 6 = 5 - x + 8 - 9
    • We hernemen de opgave en krijgen:
    • 14 - 2 - 6 = 5 - x + 8 - 9 ↔ x + 14 - 2 - 6 = 5 + 8 - 9 ↔ x = 5 + 8 - 9 - 14 + 2 + 6 ↔ x = - 2
    • De verzameling der oplossingen is dus: V = {- 2}.
    • Invullen van de gevonden waarde voor x in de opgave levert:
    • 14 - 2 - 6 = 5 - x + 8 - 9 ↔ 14 - 2 - 6 = 5 - (- 2) + 8 - 9 ↔ 14 - 2 - 6 = 5 + 2 + 8 - 9 ↔ 6 = 6
© 2013 - 2019 Kris-w, het auteursrecht (tenzij anders vermeld) van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Soorten getallenIn de wiskunde zijn verschillende soort getallen bekend. Deze soorten getallen hebben allen hun eigen eigenschappen. Zo…
Vergelijkingen oplossen(1): lineaire vergelijkingenVergelijkingen oplossen(1): lineaire vergelijkingenIedereen die op de middelbare school wiskunde heeft, krijgt te maken met wiskundige vergelijkingen. Misschien ben je hie…
Vergelijkingen oplossen met algebraIn de moderne wiskunde is oplossen met algebra steeds belangrijker aan het worden. In iedere lesmethode is hier iets ove…
Stelsels van lineaire vergelijkingen oplossenEen stelsel van lineaire vergelijkingen bestaat uit meerdere vergelijkingen en heeft meerdere onbekenden. We bespreken h…
Vergelijkingen oplossen(2): kwadratische vergelijkingenVergelijkingen oplossen(2): kwadratische vergelijkingenIn het tweede deel van deze serie gaan we kwadratische vergelijkingen oplossen. De kwadratische vergelijking is een stuk…

Reageer op het artikel "Oplossen van vergelijkingen met de positieve gehele getallen"

Plaats als eerste een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Ik ga akkoord met de privacyverklaring en ben bekend met de inhoud hiervan
Infoteur: Kris-w
Gepubliceerd: 28-03-2013
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Schrijf mee!