Oplossen van vergelijkingen met de positieve gehele getallen

Een wiskundige vergelijking bestaande uit positieve gehele getallen is een gelijkheid waarin een onbekende term x verwerkt zit. Deze laatste term, welke een geheel getal is, moet gevonden worden.

Definitie

Men spreekt over Z,+; als de groep van de positieve gehele getallen (inclusief 0), als deelverzameling van de getallenverzameling Z der gehele getallen. Neemt men enkel de strikt-positieve gehele getallen; Zο,+; dan betekent dit gewoonweg dat het getal 0 geen deel meer uitmaakt van deze verzameling. Men noteert achtereenvolgens:

• Z,+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
• Zο,+ = {1, 2, 3, 4, 5, ... }

In beide verzamelingen; Z,+ en Zο,+; is het kleinste element bekend (respectievelijk 0 en 1), maar is het grootste element niet bekend. In wat volgt zullen wij ons bezighouden met het aanleren van de bewerkingen optellen en aftrekken in Z,+.

Rekenregels bij het optellen en aftrekken in Z,+

De optelling in Z,+ is commutatief

Als men twee positieve gehele getallen bij elkaar optelt, mag men de termen van plaats verwisselen. Men noteert:

• a + b = b + a

Hierin zijn a en b positieve gehele getallen.

Het overbrengen van een term naar het andere lid

Wanneer men een term van lid verandert, verandert zijn teken. Anders gezegd: optellen in het ene lid wordt aftrekken in het andere lid en aftrekken in het ene lid wordt optellen in het andere lid. Men noteert:

• x + a = b ↔ x = b - a
• x - a = b ↔ x = b + a

Hierin zijn a en b positieve gehele getallen en is x een onbekend geheel getal. Het symbool ↔ betekent "dan en slechts dan als" en drukt een wederkerige relatie uit.

Rekenregels bij het optellen en aftrekken van gehele getallen

Bij het invullen van de proef (zie later) kan men soms met bepaalde van de onderstaande bewerkingen te maken krijgen:

• a + (+ b) = a + b
• a + (- b) = a - b
• a - (+ b) = a - b
• a - (- b) = a + b

Hierin zijn a en b gehele getallen. De laatste bewerking vinden we bijvoorbeeld terug bij de proef van voorbeeld 4 en 5.

Proef

Nadat men een vergelijking in Z,+ opgelost heeft, kan er een proef uitgevoerd worden die uittest of de gevonden oplossing wel klopt. Hierbij vult men de gevonden waarde voor x in de opgave in. Zijn linkerlid en rechterlid aan elkaar gelijk, dan is de gevonden oplossing juist.

Voorbeelden

1. x + 6 - 8 = 3
• We hernemen de opgave en krijgen:
• x + 6 - 8 = 3 ↔ x + 6 = 3 + 8 ↔ x = 3 + 8 - 6 ↔ x = 5
• De verzameling der oplossingen is dus: V = {5}.
• Invullen van de gevonden waarde voor x in de opgave levert:
• x + 6 - 8 = 3 ↔ 5 + 6 - 8 = 3 ↔ 3 = 3
2. 16 - 12 = 8 - x + 1
• We hernemen de opgave en krijgen:
• 16 - 12 = 8 - x + 1 ↔ 4 = 8 - x + 1 ↔ x + 4 = 8 + 1 ↔ x = 8 + 1 - 4 ↔ x = 5
• De verzameling der oplossingen is dus: V = {5}.
• Invullen van de gevonden waarde voor x in de opgave levert:
• 16 - 12 = 8 - x + 1 ↔ 16 - 12 = 8 - 5 + 1 ↔ 4 = 4
3. 10 + x = 15 + 8 - 7
• We hernemen de opgave en krijgen:
• 10 + x = 15 + 8 - 7 ↔ x = 15 + 8 - 7 - 10 ↔ x = 6
• De verzameling der oplossingen is dus: V = {6}.
• Invullen van de gevonden waarde voor x in de opgave levert:
• 10 + x = 15 + 8 - 7 ↔ 10 + 6 = 15 + 8 - 7 ↔ 16 = 16
4. 6 - x = 10 + 2
• We hernemen de opgave en krijgen:
• 6 - x = 10 + 2 ↔ 6 = 10 + 2 + x ↔ x + 2 = 6 - 10 ↔ x = 6 - 10 - 2 ↔ x = - 6
• De verzameling der oplossingen is dus: V = {- 6}.
• Invullen van de gevonden waarde voor x in de opgave levert:
• 6 - x = 10 + 2 ↔ 6 - (- 6) = 10 + 2 ↔ 6 + 6 = 10 + 2 ↔ 12 = 12
5. 14 - 2 - 6 = 5 - x + 8 - 9
• We hernemen de opgave en krijgen:
• 14 - 2 - 6 = 5 - x + 8 - 9 ↔ x + 14 - 2 - 6 = 5 + 8 - 9 ↔ x = 5 + 8 - 9 - 14 + 2 + 6 ↔ x = - 2
• De verzameling der oplossingen is dus: V = {- 2}.
• Invullen van de gevonden waarde voor x in de opgave levert:
• 14 - 2 - 6 = 5 - x + 8 - 9 ↔ 14 - 2 - 6 = 5 - (- 2) + 8 - 9 ↔ 14 - 2 - 6 = 5 + 2 + 8 - 9 ↔ 6 = 6