Stelsels van lineaire vergelijkingen oplossen

Een stelsel van lineaire vergelijkingen bestaat uit meerdere vergelijkingen en heeft meerdere onbekenden. We bespreken hier twee methoden om een stelsel van lineaire vergelijkingen met twee onbekenden op te lossen: de substitutiemethode en de eliminatiemethode.

Definitie

Een stelsel van lineaire vergelijkingen bevat meerdere vergelijkingen en heeft meerdere onbekenden. Waar een gewone lineaire vergelijking vaak alleen de onbekende x heeft, heeft een stelsel lineaire vergelijkingen bijvoorbeeld de onbekenden x en y. Wij zullen ons hier beperken tot de stelsels met twee vergelijkingen en twee onbekenden, maar er bestaan natuurlijk ook stelsels van lineaire vergelijkingen met meer dan twee vergelijkingen en meer dan twee onbekenden.

Een voorbeeld van een stelsel lineaire vergelijkingen is:


Hieruit moeten we dus de x en y vinden die in beide vergelijkingen een oplossing zijn. Kenmerkend voor een stelsel lineaire vergelijkingen met twee onbekenden is dat de vergelijkingen afzonderlijk oneindig veel oplossingen hebben. Bij de meeste stelsels is er echter maar één oplossing die bij alle vergelijkingen juist is.

Er bestaan echter ook stelsels die geen oplossing hebben. Stelsels die geen oplossing hebben, worden strijdig of inconsistent genoemd. Een stelsel is strijdig als je een vergelijking kunt afleiden die nooit waar kan zijn, bijvoorbeeld 0 = 2.

Ook bestaan er stelsels die oneindig veel oplossingen hebben. Deze hebben vaak minder vergelijkingen dan onbekenden, bijvoorbeeld twee vergelijkingen en drie onbekenden. In dat geval heb je te weinig informatie om een unieke oplossing te kunnen vinden.

We zullen twee methoden bespreken waarmee je de oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen kunt vinden (als er een unieke oplossing bestaat). Dit zijn de substitutiemethode en de eliminatiemethode.

De substitutiemethode

De substitutiemethode herschrijft een van de onbekenden in termen van de andere onbekende. Als je bijvoorbeeld weet dat x = 2y + 4, dan kun je in een vergelijking waar x staat, deze x vervangen door 2y + 4. Het resultaat is dan dat je een vergelijking krijgt met maar één onbekende en deze is veel makkelijker op te lossen.

We zullen de substitutiemethode illustreren met het eerder genoemde voorbeeld:


We proberen een vergelijking te krijgen waarin de x’en aan de ene kant staan en de y’en aan de andere kant. We delen eerst de tweede vergelijking door twee:


Nu halen we 2y naar de andere kant:


Nu hebben we een vergelijking met x aan de ene kant en de y’en aan de andere kant. Nu kunnen we in vergelijking 1 voor x de term 3 - 2y invullen:


Deze vergelijking is nu veel makkelijker op te lossen:


Nu we y weten, kunnen we x uitrekenen:


De oplossing is dus x = 1¾ en y = 5/8. Tot slot de controle:


Beide oplossingen kloppen dus!

De eliminatiemethode

In de eliminatiemethode maken we door optellen of aftrekken van complete vergelijkingen een nieuwe vergelijking. Dit proberen we zo te doen dat een van de onbekenden geëlimineerd wordt. Als we bijvoorbeeld twee vergelijkingen met 2x hebben, dan kunnen we de x elimineren door de vergelijkingen van elkaar af te trekken. De x is dan verdwenen uit de nieuwe vergelijking. Het resultaat is dan een vergelijking met één onbekende, die veel gemakkelijker is op te lossen.

We zullen de methode illustreren met onderstaand voorbeeld:


We vermenigvuldigen de tweede vergelijking met twee, zodat er in beide vergelijkingen 2x staat:


Nu trekken we de eerste vergelijking hiervan af:


Deze vergelijking is makkelijk op te lossen:


Nu we y gevonden hebben, kunnen we x vinden door in te vullen in een van de oorspronkelijke vergelijkingen:


De oplossing is dus x = 1 en y = 2. Tot slot weer de controle:


De oplossing klopt dus!