Vergelijkingen oplossen (3): exponentiële vergelijkingen

In dit deel zullen we verschillende soorten exponentiële vergelijkingen bespreken en oplossen. Exponentiële vergelijkingen hebben veel praktische toepassingen buiten de wiskunde. Voorbeelden hiervan zijn de berekening van samengestelde rente, radioactief verval en bevolkingsgroei.

Definitie

Een exponentiële vergelijking is een vergelijking met ten minste een term van de vorm a^f(x). Hierbij is a een constante en f(x) is een functie van x. f(x) kan een willekeurige functie zijn, bijvoorbeeld f(x) = 2x + 4 of gewoon f(x) = x. Met a = 3 en f(x) = 2x + 4 krijgen we de exponentiële term 3^2x+4.

Voorbeelden van exponentiële vergelijkingen zijn:

Exponentiële vergelijkingen oplossen

We bespreken drie soorten exponentiële vergelijkingen die we zullen oplossen:

Vergelijkingen in de vorm a^f(x) = b

In de eerste soort vergelijkingen staat links een exponentiële term a^f(x) en rechts een constante b. Een voorbeeld van een vergelijking in deze vorm is voorbeeld 1:


Om deze vergelijking op te lossen, moeten we aan beide kanten de logaritme nemen:


Nu kunnen we een belangrijke truc toepassen die gebaseerd is op de volgende regel:


We mogen de exponent dus gewoon buiten de haken halen! Als we dit toepassen op de term log (1,05^x), krijgen we:


Nu kunnen we x eenvoudig uitrekenen:


Een controle geeft:


De oplossing klopt dus!

Ook het tweede voorbeeld werkt op dezelfde manier:


We nemen eerst aan beide kanten de logaritmen:


Ook hier mogen we de exponent buiten de haken halen:


Nu is x eenvoudig uit te rekenen:


Tot slot de controle:


De oplossing klopt!

Vergelijkingen in de vorm a^f(x) = a^g(x)

In de tweede soort vergelijkingen staat zowel links als rechts een exponentiële term. Hier hebben beide termen echter hetzelfde grondtal a. Dit maakt het oplossen van deze soort vergelijkingen een stuk makkelijker. Het blijkt namelijk dat we dan geen logaritmen nodig hebben! Voorbeeld 3 is al in deze vorm, maar we kunnen ook voorbeeld 4 in deze vorm herschrijven.

We laten eerst zien waarom voorbeeld 3 eenvoudig is op te lossen:


In een exponentiële vergelijking waarbij beide kanten hetzelfde grondtal hebben, moeten ook de exponenten gelijk zijn. Anders gaat de vergelijking niet meer op! We kunnen hier dus eenvoudig zeggen:


Nu hebben we een lineaire vergelijking die eenvoudig is op te lossen:


Een controle geeft:


De oplossing klopt dus.

Ook als de grondtallen niet gelijk zijn, is het soms mogelijk om de vergelijking te herschrijven tot een vergelijking waar de grondtallen wel gelijk zijn. Een voorbeeld hiervan is voorbeeld 4:


Beide grondtallen (4 en 8) zijn machten van 2. Immers, 2² = 4 en 2³ = 8. Als beide grondtallen machten van hetzelfde getal zijn, kunnen we de termen herschrijven. In dit geval gaan we beide termen herschrijven in machten van 2.

Voor het herschrijven maken we gebruik van de volgende regel:


Met behulp van deze regel kunnen we 8^x herschrijven:


Ook kunnen we 4^x+2 op deze manier herschrijven:


Als we dit invullen in de oorspronkelijke vergelijking, krijgen we:


De grondtallen zijn gelijk, dus zijn de exponenten dat ook:


Tot slot de controle:


De oplossing klopt dus.

Vergelijkingen in de vorm a^f(x) = b^g(x)

Deze soort vergelijkingen hebben ook aan beide kanten een exponentiële term. Hier verschillen de grondtallen echter, wat de oplosmethode een stuk lastiger maakt. Voorbeeld 5 is een voorbeeld van deze vorm:


De oplosmethode is in grote lijnen hetzelfde als bij de eerste vorm. We nemen eerst aan beide kanten de logaritmen:


Ook nu halen we de exponenten buiten de haken:


We moeten nu de haken wegwerken:


Er ontstaat nu een lineaire vergelijking. We halen dus alle termen met x naar de ene kant en de constanten naar de andere kant:


We ontbinden het linkerdeel in factoren, om zo x apart te krijgen:


Nu moeten we alleen nog delen door (4 * log 3 - log 6):


Tot slot de controle:


De oplossing klopt!

Hopelijk weet je met deze technieken genoeg om exponentiële vergelijkingen op te lossen!