Vergelijkingen oplossen(2): kwadratische vergelijkingen

In het tweede deel van deze serie gaan we kwadratische vergelijkingen oplossen. De kwadratische vergelijking is een stuk lastiger dan de lineaire vergelijking.

Definitie

Een kwadratische vergelijking is een vergelijking in de vorm ax² + bx + c = 0, waarbij we voor a, b en c een (reëel) getal moeten invullen. Deze a, b en c mogen ook negatief zijn of breuken bevatten.

Bijvoorbeeld:


Hieruit blijkt dat b en c ook nul mogen zijn. In die gevallen krijgen we een ander type vergelijking, die we ook zullen bespreken.

Kwadratische vergelijkingen oplossen

Er zijn drie verschillende soorten kwadratische vergelijkingen. Behalve de vergelijkingen waar b en c ongelijk nul zijn, zijn er vergelijkingen waar b nul is (ax² + c = 0) of waar c nul is (ax² + bx = 0). Deze laatste twee vormen hebben een andere (eenvoudigere) oplosmethode.

Vergelijkingen met b = 0 (ax² + c = 0)

De eerste soort vergelijkingen is die met b = 0. Dan ontstaat een vergelijking in de vorm ax² + c = 0. Een voorbeeld hiervan is het eerste voorbeeld:


Om deze vergelijking op te lossen, doen we het volgende: we halen het getal 35 naar rechts door aan beide kanten 35 op te tellen.


Daarna delen we aan beide kanten door 7.


Er zijn nu twee oplossingen: x = -√5 en x = √5

We doen nog een controle:


De oplossingen kloppen dus allebei.

Vergelijkingen met c = 0 (ax² + bx = 0)

De tweede soort vergelijkingen is die met c = 0. Dan krijgen we de vorm ax² + bx = 0. Een voorbeeld daarvan is het tweede voorbeeld:


Let op dat je in deze vergelijking niet door x deelt! Het kan namelijk dat x nul is en door nul delen mag niet.

Deze vergelijking gaan we ontbinden in factoren. Dit doen we door x buiten de haken te halen:


Je kunt zien dat hier nog steeds hetzelfde staat. Immers, als je x vermenigvuldigt met ½x, krijg je ½x² en x * 1 = x.

Wanneer je een vergelijking in de vorm F * G = 0 hebt, dan heb je twee oplossingen: F = 0 of G = 0. Als F of G nul is, geldt namelijk altijd dat F * G = 0. Als je iets vermenigvuldigt met 0, wordt het resultaat altijd nul.

Onze vergelijking heeft dus ook twee oplossingen: x = 0 of ½x + 1 = 0. De tweede oplossing moeten we nog verder uitwerken (zie ook het artikel over lineaire vergelijkingen voor deze vergelijking).


De oplossing zijn dus x = 0 en x = -2. Tot slot nog de controle:


Beide oplossing kloppen dus.

Vergelijkingen met b en c ongelijk aan 0 (ax² + bx + c = 0)

De laatste soort vergelijkingen is die waar b en c beiden ongelijk aan 0 zijn. Deze vergelijkingen hebben de (volledige) vorm ax² + bx + c = 0. Een voorbeeld hiervan is het derde voorbeeld:


Om het oplossen van deze vergelijking te vereenvoudigen, zorgen we ervoor dat er maar één x² in de vergelijking staat. We moeten hier dus delen door 3.


In sommige gevallen is het mogelijk om een kwadratische vergelijking te ontbinden in factoren. Dit is hier het herschrijven van de vergelijking in de vorm (x + d)(x + e) = 0.
Voor d en e geldt dat:


In ons voorbeeld geldt dat b = 1 en c = -6, dus moet gelden:


Als d * e = -6, dan kan bijvoorbeeld d = 2 en e = -3 zijn of d = -2 en e = 3. In het eerste geval is d + e gelijk aan -1, dus dat is niet de oplossing. Bij de tweede mogelijkheid is d + e gelijk aan 1, dus dat zijn de juiste d en e.

Met d = -2 en e = 3 kunnen we de vergelijking herschrijven tot:


De oplossingen zijn dan:


Tot slot nog de controle:


Beide oplossing kloppen dus!

De ABC-formule

Helaas lukt het niet altijd om vergelijkingen te ontbinden in factoren. In dat geval gebruiken we de ABC-formule. Hoewel het wat meer rekenwerk kost, kun je hiermee altijd de juiste oplossing(en) vinden. Om de ABC-formule te demonstreren, nemen we ons laatste voorbeeld:


We noteren de getallen a, b en c:


We berekenen eerst de discriminant D met de volgende formule:


Voor de discriminant D zijn er drie mogelijkheden. Als D > 0 (positief), dan zijn er twee oplossingen. Bij D = 0 is er één oplossing en als D < 0 (negatief) dan is er geen oplossing. In ons geval is D positief, dus zijn er twee oplossingen.

De oplossingen berekenen we met de formules:


Onze oplossingen zijn dus:


Om de oplossingen te controleren, is het het makkelijkste om de oplossingen uit te rekenen en deze in te vullen in de oorspronkelijke vergelijking. 1 - ¼√48 is ongeveer 1 – 1,73 = -0,73. 1 + ¼√48 is ongeveer 2,73.

Voor de controle vullen we in:


Er ontstaat een afrondingsverschil, maar dat komt doordat we met afgeronde oplossingen rekenen. In dit geval is er maar een klein verschil, dus kunnen we de conclusie trekken dat de oplossingen kloppen!

Hopelijk lukt het je hiermee om kwadratische vergelijkingen op te lossen. In het volgende deel bespreken we de exponentiële vergelijkingen.