Wiskunde: Hoe los je een kwadratische vergelijking op?

Kwadratische vergelijkingen komen veel voor in de wiskunde. En niet alleen in de wiskunde. Ze komen eigenlijk voor in alle exacte wetenschappen. Daarom is het erg handig om te weten hoe je zo'n vergelijking kan oplossen. Er zijn drie typen kwadratische vergelijkingen. De vergelijkingen met twee reële oplossingen, die met een reële oplossing, en die zonder reële oplossingen. Er zijn een aantal manieren om een kwadratische vergelijking aan te pakken. De belangrijkste zijn ontbinden in factoren, kwadraat afsplitsen en de ABC-formule.

Wat is een kwadratische vergelijking

Een kwadratische vergelijking is een polynoom van graad twee. Dat wil zeggen dat het van de volgende vorm is:

y = a*x^2 + b*x + c

Hierbij zijn a, b en c constante reële getallen. Als we y weten, willen we graag x uit kunnen rekenen. In veel situaties willen we de nulpunten van een kwadratische vergelijking hebben. In dat geval is y gelijk aan nul. Als je een grafiek tekent van een kwadratische vergelijking ziet dit eruit als een parabool. Als a groter is dan nul is het een dalparabool. Dat wil zeggen dat de opening aan de bovenkant zit. Voor a kleiner dan nul komt er een bergparabool. Hierbij zit de opening aan de onderkant. Als a gelijk aan nul wordt gekozen is er geen sprake meer van een kwadratische vergelijking. Er blijft alleen nog maar b*x + c over. Dit is een lineaire vergelijking en kan worden getekend als rechte lijn.

Hoeveel oplossingen zijn er?

Volgens de hoofdstelling van de algebra heeft een kwadratische vergelijking altijd twee oplossingen. Het kan echter wel zo zijn dat er complexe getallen nodig zijn om tot deze oplossingen te komen. Meestal wordt er gewoon in de reële getallen gerekend. In de reële getallen hoeft een kwadratische vergelijking niet per se twee oplossingen te hebben. Het kan er ook één zijn of zelfs nul. Met behulp van de discriminant kan uitgerekend worden hoeveel reële oplossingen een kwadratische vergelijking heeft.

De discriminant
De discriminant van een kwadratische vergelijking kan uitgerekend worden met de volgende formule:

D = b^2 - 4 * a * c

Als de determinant groter is dan nul, betekent dit dat er twee reële oplossingen zijn. Is de determinant gelijk aan nul dan is er precies één oplossing. Wanneer de determinant kleiner is dan nul heeft deze vergelijking geen reële oplossingen.

Het oplossen van kwadratische vergelijkingen

Ontbinden in factoren
Ontbinden in factoren is een van de manieren om een kwadratische vergelijking op te lossen. Voor de handigheid gaan we ervan uit dat a gelijk is aan één. Dit kan altijd bereikt worden door de hele vergelijking te delen door a. Ook moet y in dit geval nul zijn. Ook dit kan altijd bereikt worden door y aan beide kanten van de vergelijking eraf te halen. Het doel is om de vergelijking om te schrijven in de volgende vorm:

(x+p)*(x+q) = 0

Hiervoor moeten we p en q bepalen. Als we dit product uitwerken krijgen we x^2 + (p+q)*x + p*q. We moeten dus p en q vinden waarvoor geldt:

p + q = b
p * q = c

Als dit gelukt is kunnen we de oplossingen makkelijk bepalen. Als twee getallen met elkaar vermenigvuldigd nul zijn, moet een van beide termen nul zijn. We weten dus (x+p) = 0 of (x+q) = 0. Dus de oplossingen zijn dan x = -p en x = -q.

Een voorbeeld
We willen de x bepalen waarvoor:

x^2 + 5*x + 6 =0

We zien dat 2+3 gelijk is aan 5 en 2*3 gelijk is aan 6. Dus x^2 + 5*x + 6 = (x+2)*(x+3).
De oplossingen zijn dus x = -2 en x = -3.

Kwadraat afsplitsen
Een andere methode is kwadraat afsplitsen. Ook nu moet a gelijk worden gemaakt aan 1 en y gelijk aan nul. Bij deze methode schrijven we de formule om naar de volgende vorm:

x^2 + b*x + c = (x+(1/2)*b)^2 - (1/4)*b^2 + c = 0

Als dit verder wordt uitgewerkt staat er iets in de vorm:

(x+p)^2 + q = 0.

Dus:

(x+p)^2 = -q

Dus x = -p + sqrt(-q) of x = -p - sqrt(-q)

Kijk opnieuw naar de vergelijking x^2 + 5*x + 6 =0. Schrijf dit als:

(x + 5/2) ^2 - 25/4 + 6 = 0

(x+5/2)^2 - 1/4 = 0

Dus x = - 5/2 + sqrt(1/4) = -5/2 + 1/2 = -2 of x = -5/2 -sqrt(1/4) = -5/2 -1/2 = -3

De ABC-formule
De ABC-formule is een methode die direct de uitkomst geeft zonder tussenstappen. Hiervoor moet wel y gelijk zijn aan nul, maar a hoeft niet per se 1 te zijn. Deze formule werkt altijd. De formule geeft:

x = (-b + sqrt(b^2 - 4*a*c)/2a of x = (-b - sqrt(b^2 - 4*a*c)/2a

In deze formule is de determinant terug te vinden. Het is duidelijk dat er twee verschillende oplossingen zijn wanneer de discriminant groter dan nul is. Wanneer de discriminant gelijk is aan nul wordt een deel van de vergelijking nul. Hierdoor is er geen verschil meer tussen beide oplossingen. Daarom is er dan maar één oplossing. Als de determinant kleiner is dan nul, moet de wortel van een negatief getal genomen worden. Dit is alleen mogelijk met behulp van complexe getallen. Er zijn dan dus geen reële oplossingen voor deze vergelijking.

Toegepast op het voorbeeld x^2 + 5*x + 6 =0.

x = (-5 + sqrt(25-4*1-6)/2*1 = (-5 + sqrt 1) / 2 = -4/2 = -2 of x = (-5 - sqrt(25-4*1-6)/2*1 = (-5 - 1)/2 = -3

Ook hier zien we dat er weer dezelfde uitkomsten uitkomen. Een controle leert dat deze uitkomsten ook juist zijn:

(-2)^2 + 5 * -2 + 6 = 4 -10 + 6 = 0
(-3)^2 +5 * -3 + 6 = 9 -15 + 6 = 0

Een voorbeeld waarbij de discriminant gelijk is aan een is het volgende:

x^2 + 4 * x + 4 = 0

Hier geldt namelijk b^2 - 4 * a * c = 4^2 - 4 * 1 * 4. = 0

Dit kan ontbonden worden als (x + 2)^2. De oplossing is dus x = -2. De tweede oplossing is echter ook x = -2. We zeggen hier dat x gelijk is aan -2 met multipliciteit twee. Dit betekent dat er twee antwoorden van de vergelijking gelijk zijn en in dit geval allebei gelijk zijn aan -2.

Wiskunde: Hoe los je een kwadratische vergelijking op?

Wat is een kwadratische vergelijking

Hoeveel oplossingen zijn er?

Het oplossen van kwadratische vergelijkingen

Lees verder