Wiskunde: oneindige rijen, deelrijen en reeksen

Rijen in de wiskunde zijn precies wat je ervan zou verwachten. Een rij is bijvoorbeeld 1 2 3 4 5 6 ... of 1 -1 1 -1 1 -1... of 1 547 963 -14 889 7 of welke willekeurige andere rij getallen je ook maar kunt bedenken. Een rij kan een patroon hebben, maar dat hoeft niet. Rijen met een patroon zijn echter veel interessanter om naar te kijken. Er zijn een aantal eigenschappen die een rij kan hebben die hem interessant kan maken voor verschillende doeleinden. Een voorbeeld hiervan is de combinatoriek.

Definitie van een rij

Een rij is een verzameling getallen. Een rij wordt meestal aangeduid als An (zeg a-en), en bestaat uit eindig of oneindig veel elementen. Als dit aantal eindig is, spreken we van een eindige rij. Dit artikel zal zich echter focussen op oneindige rijen. Deze worden aangeduid als A0, A1, A2 enzovoort. Rijen komen in alle soorten en maten voor. Sommige rijen zijn volstrekt willekeurig. Deze zijn niet zo interessant om naar te kijken omdat we er niet zoveel over kunnen zeggen. Een rij kan soms worden omgeschreven met een recurrente betrekking, zoals bijvoorbeeld: An = An-1 + 3An-2. Soms is een rij niet afhankelijk van de vorige, maar alleen van n. Bijvoorbeeld: An = 3n+9. Een combinatie van beiden is ook mogelijk. An kan alternerend zijn. Dat wil zeggen dat de rij afwisselend positieve en negatieve waarden aanneemt.

Deelrijen

Als we een rij hebben kunnen we ook een deelrij hiervan nemen. Dat wil zeggen dat we slechts een deel van de elementen van de rij nemen. Dit moeten er wel oneindig veel zijn. Een voorbeeld is A2n. Deze rij bestaat uit A0, A2, A4 enzovoort. Dit is een deelrij van An, want alle elementen uit A2n zitten ook in An, en het is zelf ook een rij.

Eigenschappen van rijen

Begrensd

Een rij kan begrensd zijn. Dat wil zeggen dat de waarden van de rij nooit groter worden dan een bepaalde waarde. Dus als An < K voor alle n en een zekere K dan is An begrensd naar boven. Als An > L voor alle n en zekere L is An begrensd naar beneden. Als An begrensd is naar boven en naar beneden heet An begrensd. Begrensdheid is een belangrijk begrip, want het is een noodzakelijke voorwaarde voor convergentie. Convergentie is het belangrijkste begrip voor rijen.

Convergent

Een rij heet convergent als de rij een limiet heeft. Dat betekent dat op een zeker moment ver achteraan in de rij de waarden steeds minder verschillen, en uiteindelijk willekeurig dicht bij de limietwaarde komen. Om een limiet te kunnen hebben moet de rij begrensd zijn. Het is echter niet per se zo dat een rij een limiet heeft als hij begrensd is. We kunnen het limietbegrip als volgt formeel opschrijven:

Een rij An heeft limiet L als geldt:


Dit ziet er ingewikkeld uit, maar het valt best mee. Wat er staat is dat als we een e gegeven krijgen we in staat zijn om een N te bepalen. Voor deze N geldt dat als we een element uit de rij nemen met een hogere index dan N, dus bijvoorbeeld AN+1 of AN+2. Deze elementen liggen allemaal minder dan e af van de limietwaarde. Dit kunnen we doen voor elke willekeurige e, zolang deze maar groter dan 0 is. Dit betekent dat An willekeurig dicht bij de limietwaarde komt. De limietwaarde hoeft echter niet per se aangenomen te worden. Dit kan wel, maar is geen vereiste. De rij An = 1/n heeft als limiet 0. Hoe groter we n maken hoe dichter we bij 0 komen. De rij zal echter nooit precies 0 worden.

Divergent

Een rij die niet convergent is wordt divergent genoemd. Deze rijen zijn minder interessant dan convergente rijen, omdat er over convergente rijen veel stellingen zijn, en over divergente niet. Een divergente rij kan naar oneindig gaan, of naar min oneindig. Maar het kan ook een alternerende rij zijn. Bijvoorbeeld 1 -1 1 -1... is een alternerende rij zonder limiet. Een volstrekt willekeurige rij is ook divergent.

Deelrijen

Een deelrij van een convergente rij is altijd convergent. Dit is vrij gemakkelijk in te zien. Een deelrij van een divergente rij kan ook convergent zijn, dit hoeft echter niet. 1 -1 1 -1... is een voorbeeld van een divergente rij die een convergente deelrij heeft. Als we als deelrij A2n nemen krijgen we de rij -1 -1 -1 -1 ... Deze heeft duidelijk limiet -1 en is dus convergent. Volgens de stelling van Bolzano-Weierstrass heeft elke begrensde rij een convergente deelrij.

Cauchyrij

Een cauchyrij is een rij waar vanaf zekere n de elementen willekeurig dicht bij elkaar liggen. Formeel betekent dit:


Een rij is een cauchyrij dan en slechts dan als de rij convergent is. Tenminste in de reële getallen. Als in een andere ruimte gerekend wordt hoeft een cauchyrij niet altijd convergent te zijn. Als dit wel zo is noemen we de ruimte compleet.

Reeks

We kunnen ook alle elementen van een rij optellen. Zo krijgen we een som waar oneindig veel getallen worden opgeteld. Zo'n som wordt een reeks genoemd. Ondanks dat we oneindig veel getallen optellen kan er toch een uitkomst zijn. Als de waarden op het einde van de rij maar klein genoeg convergeert de waarde van de reeks. We kunnen de waarde van de som uitrekenen door de limiet voor n naar oneindig te nemen van de som van 1 tot n van An. Op deze manier kan bijvoorbeeld worden bepaald dat de som van 1 tot oneindig voor de rij An = 1/n² gelijk is aan pi²/6.

De meetkundige reeks

De meetkundige reeks is een van de meest gebruikte reeksen. Het is de som van 0 tot oneindig van de rij An = x^n. Voor alle x tussen 0 en 1 is de uitkomst hiervan 1/(1-x).

Lees verder

• Wiskunde: verzamelingen van de getallen
• Wiskunde: Hoe los je een kwadratische vergelijking op?
• Wiskunde: open, gesloten en compacte verzamelingen
• Wiskunde: Het algoritme van Karatsuba
• Wiskunde: continue en discrete kansverdelingen