Goniometrie - theorie en voorbeelden

In de technische wiskunde wordt veel gewerkt met vaardigheden zoals algebra en meetkunde. Zo moeten functies gelijk zijn aan elkaar, exacte waarden moeten worden gegeven als antwoord en vaak worden andere onderwerpen tijdens het oplossen van de opgave erbij betrokken. Een dergelijk onderwerp kan goniometrie zijn, waarbij goniometrische functies moeten worden behandeld. Vaak wordt dit onderwerp als lastig beschouwd, terwijl dergelijke opgaven relatief eenvoudig op te lossen zijn, met een kleine hoeveelheid achtergrondkennis. Wat zijn goniometrische functies, en hoe zijn ze op te lossen?

Goniometrische functies

Goniometrische functies bestaan altijd uit een sinus, cosinus en een tangens. In de meeste gevallen komen enkel sinussen en cosinussen voor. Verschillende goniometrische functies die gelijk aan elkaar worden gesteld, moeten eerst gelijk worden gemaakt. Daarvoor bestaan enkele regels die kunnen worden toegepast bij een opgave. Bij goniometrische functies en het oplossen daarvan bestaan enkele delen, die allemaal met elkaar te maken hebben:

• Rekenregels bij goniometrische functies
• De eenheidscirkel

Rekenregels bij goniometrische functies

Er bestaan acht omzetformules die mogen worden gebruikt. Deze worden daarentegen niet gegeven bij het voorblad op het Centraal Examen en dienen dus uit het hoofd te worden geleerd. Met enkele keren herhalen is dit goed te doen: deze formules zijn relatief simpel en kunnen met wat oefening goed onthouden worden. Naast deze formules moeten ook andere formules onthouden worden.

Rekenregels voor de sinus

Voor de sinus bestaan drie rekenregels om de functie te converteren. De regels voor sinusfuncties staan hieronder weergegeven:

• sin(- A) = - sin(A)
• - sin(A) = sin(A + π)
• sin(A) = cos(A - ½π)

Daarnaast geldt voor de sinus

• sin(A) = sin(B) geeft A = B + k * 2π of A = π - B + k * 2π

Rekenregels voor de cosinus

Ook voor de cosinus bestaan drie rekenregels. Deze zijn als volgt:

• cos(- A) = cos(A)
• - cos(A) = cos(A + π)
• cos(A) = sin(A + ½π)

Voor de cosinus geldt ook

• cos(A) = cos(B) geeft A = B + k * 2π of A = - B + k * 2π

Let op: Bij de cosinus geldt niet dat A = π - B + k * 2π. In plaats daarvan wordt B vermenigvuldigd met min één, in bovenstaande regel aangegeven met een minteken voor de B.

Andere rekenregels

Bij het oplossen kan het handig zijn om de volgende regels te gebruiken. Dit is afhankelijk van de soort opdracht. Ook deze rekenregels worden niet gegeven:

• sin²(A) + cos²(A) = 1
• tan (A) = sin(A) / cos(A)

Aan de hand van een simpel voorbeeld wordt het gebruik van deze regels duidelijk.

Voorbeeld 1

Herleid - sin(2x - ½π) tot de vorm cos(ax + b).

Nog meer rekenregels

In het oplossen van dit soort opdrachten krijgt men niet alleen te maken met het omzetten van goniometrische functies. Soms moeten goniometrische formules aan elkaar gelijk worden gesteld, waarbij complexere opgaven kunnen ontstaan. Deze regels noemt men de verdubbelingsformules, de somformules en de verschilformules.

Verdubbelingsformules

De verdubbelingsformules worden gebruikt indien een vorm van sin(2A) of cos(2A) voorkomt. Door de verdubbelingsformules te gebruiken bij deze functies kan een functie erg gesimplificeerd worden. Deze formules komen, daarentegen, ook niet op het voorblad van het Centraal Examen. Deze dienen dus, naast de omzetformules, onthouden te worden. De verdubbelingsformules zijn als volgt:

• sin(2A) = 2 sin(A) * cos(A)
• cos(2A) = cos²(A) - sin²(A)
• cos(2A) = 2 cos²(A) - 1
• cos(2A) = 1 - 2 sin²(A)

In deze functies is altijd 2A betrokken. De reden dat dit verdubbelingsformules worden genoemd is omdat deze formules meestal worden gebruikt van rechts naar links. Dit is om het vinden van een antwoord te versimpelen. Het is, bijvoorbeeld, eenvoudiger om het antwoord te vinden op cos(2x) = sin(x) dan voor 2 cos²(A) - 1 = sin(x).

Somformules

De volgende formules komen wel op het voorblad van het Centraal Examen. Omdat deze formules vrij lang zijn en vaak worden gebruikt om lijnsymmetrie of puntsymmetrie aan te tonen is besloten om deze formules wel prijs te geven. Hieronder de somformules:

• cos (t + u) = cos(t) cos(u) - sin(t) sin(u)
• sin (t + u) = sin(t) cos(u) + cos(t) sin(u)

Verschilformules

Deze formules berusten grotendeels op dezelfde theorie als die van de somformules. Het enige verschil is dat in de functie een waarde moet worden afgetrokken van de andere, wat bij een somformule niet het geval is. De volgende formules zijn dan van kracht:

• sin(t - u) = sin(t) cos(u) - cos(t) sin(u)
• cos(t - u) = cos(t) cos(u) + sin(t) sin(u)

De eenheidscirkel

De eenheidscirkel is een eenvoudig ezelsbruggetje om de waarden van sin(α) of cos(α) te achterhalen. Dit kan veel tijd besparen en is daarom onderdeel van wiskunde, alhoewel het niet specifiek op een examen wordt getoetst. In figuur 3 is de eenheidscirkel te zien. In het eerste opzicht kan de eenheidscirkel gecompliceerd overkomen. De cirkel heeft in dit geval een straal van 1. Grotere getallen dan die waarde kunnen pure sinus- en cosinusfuncties (dus zonder amplitude of aangepaste evenwichtstoestand) niet bereiken. Ook heeft de eenheidscirkel in figuur 3 waarden staan om de cirkel: met de cirkel mee (rechts naar links tegen de klok in) wordt de waarde steeds groter. Indien men tegen de klok in gaat, zou er ook voor kunnen worden gekozen om een negatieve waarde te hechten aan de eenheidscirkel: 1¾π wordt dan bijvoorbeeld -¼π. Of een negatief of positief getal wordt gebruikt (- ¼π of 1¾π) is een eigen keuze: het antwoord wordt niet beïnvloed.

Sinus in de eenheidscirkel

De waarden van de sinus staan in de eenheidscirkel op de y-as. Als voorbeeld hiervan wordt de functie sin(3x) met x = ½π genomen. Invullen geeft sin(3 * ½π) = sin(1 ½π). Aflezen in de eenheidscirkel geeft sin(1 ½π) = - 1. Indien dit wordt ingevuld in een GR zal hetzelfde antwoord gegeven worden. Let op: voor dit soort opdrachten hoort de rekenmachine op Rad (of simpelweg R) te staan. Indien dit niet het geval is (Bij Gra of Deg) zullen andere antwoorden gegeven worden die niet overeenkomen.

Cosinus in de eenheidscirkel

De waarden van de cosinus staan in de eenheidscirkel op de x-as. Als voorbeeld hiervan wordt de functie cos(2x - ¼π) genomen met x = ½π. Deze waarden invullen in de functie geeft cos(2 * ½π - ¼π) = cos(¾π). Dit is gelijk aan -½√2. Door dit af te lezen uit de eenheidscirkel (of dit direct uit het hoofd te doen) wordt veel tijd bespaard.

Voorbeeld 2

Los op: sin(5x + ½π) = cos(4x - ¼π).

De eerste stap in deze opgave is het omzetten van de cosinus naar de sinus (of andersom, beide manieren werken). Daarna is het een kwestie van hetgeen wat tussen de haken staat aan elkaar gelijk stellen. Vergeet hierbij niet de regels voor sin(A) = sin(B) (of voor de cosinus indien die gebruikt wordt). In dit geval wordt de cosinus omgezet naar de sinus.