Samenstellen en ontbinden van krachten

Stelsels van krachten, die gelegen zijn in één vlak en aangrijpen in één punt, kan men vervangen door één daaraan gelijkwaardige resulterende kracht (de resultante), die eveneens aangrijpt in hetzelfde punt. Evenzo kan men een resulterende kracht die aangrijpt in een aangrijpingspunt ontbinden in meerdere krachten (de componenten), die eveneens aangrijpen in hetzelfde punt en gelijkwaardig zijn aan de oorspronkelijke gegeven resulterende kracht.

Hulpmiddelen

Voor het samenstellen en ontbinden van krachten kan men gebruik maken van verschillende analytische hulpmiddelen die oplossing bieden voor het gestelde probleem.

De goniometrische functies in een rechthoekige driehoek

• De stelling van pythagoras:

• De sinus-, cosinus- en tangensformule:

• Merk op dat:

De sinus- en cosinusregel in elke willekeurige driehoek

• De sinusregel luidt als volgt:

• Men spreekt dit uit als: sinus α staat tot a, zoals sinus β staat tot b, zoals sinus γ staat tot c.

• Tot slot de cosinusregel:

Voorbeelden

Voorbeeld 1

Laten we van het samenstellen en ontbinden van krachten telkens een voorbeeld geven.
Twee krachten, G (100N) en S (150N), bevinden zich in één vlak en grijpen aan in het punt O. De hoek tussen beide krachten is θ = 30°. Vind de grootte van de resultante R en bepaal tevens de hoeken α en β die de resultante maakt met G respectievelijk S.

• Eerst stellen we beide krachten samen tot we de resulterende kracht R bekomen. Dit is hieronder grafisch weergegeven.



• Om het vraagstuk op te lossen gaan we nu de krachtendriehoek tekenen. Merk op dat bij het tekenen van een krachtendriehoek de resulterende kracht R de sluitende zijde vormt van de driehoek. Zijn aangrijpingspunt grijpt aan in O en het eindpunt van zijn vector valt samen met het eindpunt van de laatste component (hier S).



• Voor elke driehoek geldt de cosinusregel, die hier luidt:
• R² = G² + S² - 2GScos(180° - θ)
• Echter, nu is -cos(180° - θ) = cosθ
• Zo wordt R² = G² + S² + 2GScosθ ↔ R = √G² + S² + 2GScosθ = √(100N)² + (150N)² + 2.100N.150Ncos30° = 242N
• Voor elke driehoek geldt de sinusregel, die hier luidt:



• Echter, nu is sin(180° - θ) = sinθ
• En we krijgen dan voor sinα:



• Waaruit volgt: α = 18,1°
• En voor sinβ:



• Waaruit volgt: β = 11,9°
• controle: θ = α + β = 18,1° + 11,9° = 30°

Voorbeeld 2
Een blok met gewicht G = 80N ligt op een hellend vlak. De hoek met het horizontale oppervlak is α = 25°. Ontbind het gewicht G in zijn twee rechthoekige componenten P en Q, die respectievelijk evenwijdig aan en loodrecht op het hellingsvlak staan. Bepaal vervolgens de grootte van beide componenten.
Deze situatie schetst zich als volgt:

• We maken gebruik van de betrekkingen die er bestaan voor sinus en cosinus in een rechthoekige driehoek. Tekenen we eerst de krachtendriehoek.



• Nu is:



• Hieruit volgt: P = Gsinα = 80Nsin25° = 33,8N
• En is:



• Hieruit volgt: Q = Gcosα = 80Ncos25° = 72,5N