Goniometrische functies differentiëren en integreren

Goniometrische functies behandelen is een lastige zaak. Er moet met veel rekening worden gehouden, zoals of de functie een cosinus of een sinus bevat, of er een minteken aanwezig is en wat er tussen de haken staat die de goniometrische functie definieert. In de praktijk blijkt dit vaak nog een lastige opgave die ervoor zorgt dat vele opgaven op de klippen lopen. Met inachtneming van de bovenstaande aspecten, en enkele rekenregels, zijn veel functies simpel op te lossen.

Goniometrische functies

Goniometrische functies zijn functies die een golfbeweging beschrijven. Deze functies bestaan uit een evenwichtsstand a, een amplitude b, een periode c en een x-coordinaat van het beginpunt d. De grootte van de periode, dus de lengte waarin één golf wordt voldaan, is gelijk aan 2π/c. De algemene formules voor zowel de sinus als de cosinus zijn hieronder weergegeven:


Het differentiëren en het integreren van deze functies is een relatief simpele taak, alhoewel het vaak als een grote moeilijkheid wordt ervaren. Toch kan, met behulp van simpele rekenregels en theorie, met veel gemak een dergelijke opgave worden opgelost.

Rekenregels bij sin/cos

Bij het differentiëren en integreren van een goniometrische functie verandert de hele formule. Een opmerkelijk feit is dat een sinus of cosinus daarentegen nooit weg kan worden gedifferentieerd of geïntegreerd. In figuur 1 wordt dit aspect van een goniometrische functie duidelijker: uiteindelijk blijft een sinus of cosinus voortbestaan in de functie, ongeacht van de hoeveelheid keren deze wordt gedifferentieerd of geïntegreerd. Daarnaast worden in figuur 1 grote, rode pijlen weergegeven. De rode pijl geeft de integrerende richting aan. Bij een simpele functie, bijvoorbeeld f(x) = cos(x), houdt dit in dat de primitieve van de functie f(x), ook wel aangegeven als F(x), gelijk is aan F(x)=sin(x). Omdat deze functie zeer simpel is verandert alleen de cosinus naar een sinus. Een functie differentiëren komt op hetzelfde neer. Een voorbeeldfunctie in dit geval is g(x) = x - cos(x). In dit geval moet de somregel worden gebruikt. Dit houdt in dat de afgeleide van functie g(x), ook wel aangegeven als g'(x), gelijk is aan g'(x) = [x]' - [cos(x)]', oftewel g'(x) = 1 + sin(x). Of het negatieve teken wordt meegenomen bij het differentiëren of integreren is niet van belang. Het is mogelijk om het negatieve teken mee te nemen, maar het beïnvloedt de nieuwe formule niet. Hierdoor is het makkelijker om deze buiten beschouwing te laten.

Omzettingsformules

Sommige opgaven vertonen een zeer complexe formule die op zijn beurt ook moeilijk kan zijn om te differentiëren of integreren. Uiteraard is het mogelijk om de formule, zoals die staat aangegeven, te behandelen, maar er bestaan ook omzettingsformules, ook wel verdubbelingsformules genoemd, om deze functies te versimpelen zodat er veel tijd en moeite wordt bespaard. In onderstaand voorbeeld wordt de werking van een verdubbelingsformule uitgelegd.


Voorbeeld 1: Sinus
Op het domein [0, π] is de functie f gegeven door f(x) = 3 sin(x) - 2 sin²(x). De grafiek snijdt de x-as in (0, 0) en (π, 0). Het gebied V wordt ingesloten door f(x) en de x-as. Bereken exact de oppervlakte van V. Zie figuur 2.

Deze vraag werd gesteld in het eerste tijdvak van het centraal examen van wiskunde B in 2017. De moeilijkheid van deze vraag zit in het kwadratische gedeelte. Het is mogelijk om de functie f(x), zoals hij in de vraag staat vermeld, te integreren naar zijn primitieve, alleen maakt de kwadratische sinus het proces erg omslachtig en moeilijk. Een andere optie is om de sin(x) gelijk te stellen aan p en zo verder werken, maar deze manier maakt het integreren niet heel erg makkelijker. De makkelijkste optie is om de verdubbelingsformules te gebruiken en aan te passen naar de situatie zodat de functie geen kwadratische term meer bevat. Onderstaand voorbeeld maakt gebruikt van de verdubbelingsformules om de kwadratische sinus weg te werken, waardoor met enkele opvolgende stappen de opgave doeltreffend en snel wordt opgelost.

Voorbeeld 2: Kettingregel in goniometrie

De kettingregel in goniometrische formules berust op hetzelfde principe als de andere situaties waarin de kettingregel wordt gebruikt. Een voorbeeld is de functie d(x) = 3 cos(2x² + 3x - ½π). In deze functie moet hetgeen wat tussen de haken staat als aparte functie worden beschouwd. In onderstaand veld wordt dit voorbeeld uitgelegd.