Wiskunde: open, gesloten en compacte verzamelingen

Verzamelingen zijn veel voorkomende objecten binnen de wiskunde. Een verzameling is eigenlijk precies wat je denkt dat het is. Namelijk een aantal elementen die samen genomen worden. Deze elementen kunnen alles zijn. Een verzameling wordt gekarakteriseerd door zijn elementen. Verzamelingen van de reële getallen kunnen verschillende eigenschappen hebben. Ze kunnen begrensd zijn. Sommige verzamelingen zijn open, sommige gesloten, sommige zelfs compact.

Verzamelingen

Een verzameling is een groep elementen die samen als een geheel wordt beschouwd. Een verzameling onderscheidt zich van andere verzamelingen door zijn elementen. Als twee verzamelingen dezelfde elementen bevatten dan zijn ze gelijk. De verzameling zonder elementen wordt de lege verzameling genoemd en wordt meestal genoteerd als ∅. Er zal gekeken worden naar verzamelingen van reële getallen in de n-de dimensie. Oftewel R^n.

Eigenschappen van verzamelingen

Begrensd

Een verzameling reële getallen in R^n kan begrensd zijn. Dit wil intuïtief zeggen dat de getallen niet oneindig groot kunnen worden. Een manier om dit formeel te zeggen is:

Er is een K zodanig dat voor alle x en y uit de verzameling geldt dat de afstand van x naar y kleiner is dan K.

Als je wil aantonen dat een verzameling begrensd is is het het makkelijkste om een bol te maken waar de volledige verzameling in ligt. De afstand van twee punten binnen de verzameling kan dan nooit groter zijn dan de diameter van de bol. Dit is dan dus je K.

Open

Een verzameling is open als om elk punt in de verzameling een bol gemaakt kan worden met straal groter dan nul zodanig dat de hele bol nog deel uitmaakt van de verzameling. Een voorbeeld van een open verzameling is de verzameling van coördinaten in R^2 zodanig dat |x| < 1. Dit zijn alle punten in het tweedimensionale vlak die afstand kleiner dan 1 hebben tot de oorsprong, oftewel een cirkel met straal één rondom (0,0), maar zonder de rand. Om aan te tonen dat dit een open verzameling is kiezen we een willekeurige y uit de verzameling. Vervolgens maken we een bol rond dit punt. Als deze bol ook in zijn geheeld deel uitmaakt van de verzameling is de verzameling open. Als straal van de bol nemen we (1 - |y|)/2. Dit is de afstand van het punt y tot aan de rand van de verzameling. De rand van deze verzameling is namelijk alle x met |x| = 1. Deze bol zit inderdaad in de verzameling, want het verst van de oorsprong afgelegen punt heeft als afstand de afstand tot y plus de straal van de bol. Dit is |y| + 1/2 - (1/2)|y|. Dit is (1/2)|y| + 1/2. Omdat |y| < 1 geldt, zal dit kleiner zijn dan 1.

Gesloten

Een verzameling heet gesloten als het complement open is. Het complement van een verzameling betekent: alles wat niet in de verzameling ligt. Een verzameling is dus niet per se gesloten als hij niet open is. Er zijn verzamelingen die niet open zijn en ook niet gesloten. Een voorbeeld is de verzameling bestaande uit alle x waarvoor geldt dat |x| < 1 verenigd met de verzameling van alle x waarvoor geldt dat 1≤|x+2|≤2. Dit zijn twee bollen met straal 1 waarvan er een open is en de ander gesloten. Als de twee samen als een verzameling worden gezien is de verzameling niet open, maar ook niet gesloten.

Compact

Een verzameling is compact wanneer elke open overdekking een eindige deeloverdekking bevat. Een overdekking van een verzameling A is een verzameling B zodanig dat A een deelverzameling is van B. De verzameling B kan dus open zijn. Als voor elke open verzameling B we een deelverzameling C van B kunnen vinden zodanig dat C nog steeds een overdekking is van A, dan is A een compacte verzameling. Deze definitie is nogal lastig. Gelukkig is er voor de R^n een makkelijkere manier. De stelling van Heine-Borel toont aan dat in de R^n een verzameling compact is dan en slechts dan als de verzameling gesloten en begrensd is. Deze definitie is al heel wat hanteerbaarder. Dan en slechts dan wil zeggen dat de bewering beide kanten op werkt. Dus elke compacte verzameling is gesloten en begrensd, maar ook elke gesloten en begrensde verzameling is compact.

Opmerkingen

Er zijn een aantal interessante opmerkingen te maken. Bijvoorbeeld:

• De lege verzameling en de hele R^n zijn allebei zowel open als gesloten. De lege verzameling bevat geen elementen. Voor elk element hieruit kan dus een bol gemaakt worden die ook weer in zijn geheel in de verzameling valt. De R^n is ook open, want deze bevat alle coördinaten van dimensie n. Maar het complement van R^n is de lege verzameling. Dus deze is gesloten. Analoog kan ook geconcludeerd worden dat de R^n ook gesloten moet zijn.
• De vereniging van open verzamelingen is open, maar de doorsnede van open verzamelingen is alleen open als het eindig veel verzamelingen betreft.
• De vereniging van gesloten verzamelingen is gesloten. De doorsnede alleen als het een eindig aantal verzamelingen betreft.
• Openheid en geslotenheid van verzamelingen zijn twee van de belangrijkste begrippen binnen de topologie. Dit is een van de belangrijkste gebieden van de wiskunde, omdat het de basis vormt voor veel andere wiskundige takken.

Lees verder

• Wiskunde: oneindige rijen, deelrijen en reeksen
• Wiskunde: verzamelingen van de getallen
• Wiskunde: Hoe los je een kwadratische vergelijking op?
• Wiskunde: Het algoritme van Karatsuba
• Wiskunde: continue en discrete kansverdelingen