Russell's paradox

De paradox van Russell laat zien dat de verzameling van verzamelingen die zichzelf niet als element hebben onmogelijk is. Dat was een mokerslag voor de naïeve verzamelingenleer. Deze ging ervan uit dat elke goed definieerbare eigenschap gebruikt mocht worden om verzamelingen te maken. De grondslagen van de naïeve verzamelingenleer bleken plotseling niet zo stevig als men dacht. Mede als gevolg van de paradox van Russell is er veel aandacht ontstaan voor de grondslagen van de wiskunde.

Dingen, begrippen en verzamelingen

De voorwerpen om ons heen hebben allerlei eigenschappen. Die eigenschappen kunnen gebruikt worden om de voorwerpen te groeperen. Elke verzamelaar die zijn collectie wil rubriceren werkt op die manier. Hetzelfde idee kan ook toegepast worden op abstracte begrippen. De verzameling van alle ware beweringen, bijvoorbeeld, wordt verkregen door van elke bewering te checken of het waar is of niet. De verzameling van alle beweringen die uit precies 10 woorden bestaan, wordt gemaakt met een zelfde soort procedure. Zelfs eigenschappen waaraan geen enkel begrip of voorwerp voldoet kunnen gebruikt worden. De verzameling van alle voorwerpen die sneller gaan dan het licht is ook een verzameling al bestaat er geen enkel ding met die eigenschap. De verzameling is weliswaar leeg, maar het is nog steeds een verzameling. De lege verzameling kan ook gemaakt worden aan de hand van een logisch strijdige eigenschap; de verzameling van alle bewering die tegelijk waar en onwaar zijn, is leeg.

De eigenschap waarmee men een verzameling wil maken kan P genoemd worden, waarin P staat voor "property" of "predikaat". Het voorwerp of het begrip waarvan bekeken moet worden of het aan P voldoet, kan door x voorgesteld worden. De toepassing (beoordeling) van x is dan te schrijven als als P(x). P(x) is dus een bewering die waar dan wel onwaar kan zijn. Dus:

• P(x)=waar : wanneer x de eigenschap P heeft
• P(x)=onwaar : wanneer x de eigenschap P niet heeft.

De variabele x kan een boek voorstellen en P(x) de eigenschap “x is een Engels boek”. Of een element (voorwerp of begrip) x tot een bepaalde verzameling behoort, hangt er dus van af of P(x) waar is of niet. Dit kan geschreven worden als

• V = {x | P(x)=waar}

V is hiermee gedefinieerd als de verzameling van elementen x waarvoor geldt dat P(x) waar is. Is P(x) niet waar, dan is x geen element van V. Het is altijd een van tweeën: of wel of niet in de verzameling. Als x een element vanV is, dan wordt dat formeel genoteerd als x ε V. Is x geen element van V, dan noteren we dat hier als ~(x ε V)

Het lijkt allemaal zo vanzelfsprekend: neem een eigenschap en gebruik dat om verzamelingen te vormen. Het wás ook lange tijd vanzelfsprekend. Georg Cantor deed het op precies deze manier toen hij in 1874, bijna als een donderslag bij heldere hemel, de leer der verzamelingen opstelde. Het idee dat elke verzameling gevormd kon worden door te letten op eigenschappen van dingen en begrippen is het hoofdkenmerk van wat men later de naïeve verzamelingenleer is gaan noemen. Inderdaad: naïef, want iets klopt er niet.

Onmogelijke verzamelingen

De naïeve leer der verzamelingen leidt tot problemen wanneer men verzamelingen zelf gaat beoordelen op hun eigenschappen. Verzamelingen zijn nu eenmaal begrippen die eigenschappen kunnen hebben. In de formule P(x) mag x dus ook een verzameling zijn. Een belangrijke eigenschap van verzamelingen is of ze eindig dan wel oneindig zijn. Met P(x)=x is een eindige verzameling maken we een verzameling van verzamelingen. Tot zover is er niets aan de hand.

Maar dan komt het. Als x een verzameling is dan is er niets dat ons weerhoudt om de volgende eigenschap te definiëren

• P(x) = ~ (x ε x)

Een verzameling voldoet aan deze eigenschap wanneer het zich zelf niet als element heeft. Er is niets mis met deze eigenschap. Voor elke x die beoordeeld moet worden, is het eenvoudig te checken of het zichzelf wel of niet als element heeft. Neem de verzameling van alle Engelse boeken E. Omdat E zelf geen Engels boek is, mag geconcludeerd worden dat P(E) waar is. Hetzelfde geldt voor de verzameling van de natuurlijke getallen. Deze verzameling is zelf geen getal en dus is P(x) ook hier waar. De verzameling van verzamelingen die zichzelf niet als element hebben zijn in feite het eerste waar je aan denkt als het om verzamelingen gaat.

Voorbeelden waarin P(x) niet waar is en waarin de verzameling wel een element van zichzelf is zijn wat lastiger. Maar ze zijn er wel. Neem de verzameling E die gevormd kan worden door P(x) = x is geen Engels boek. E is zelf geen Engels boek en dus is P(x) waar, wat betekent dat E ε E. Dit wat indirect voorbeeld geeft al aan deze verzamelingen ietwat apart zijn. Maar toch is er geen enkel regel die verbiedt dat ze bestaan want met de definitie van P(x) = x is geen Engels boek is niks mis. Er is dus een verzameling van verzamelingen die zichzelf wel als element hebben - die we V noemen - en een andere verzameling van verzamelingen die zichzelf niet als element hebben - die we R noemen.

Nu kunnen we ons, net zoals Bertrand Russell in 1901 deed, afvragen tot welke van de twee de verzameling R behoort. Als R tot R behoort, dan heeft het zich zelf als element. Maar dat is strijdig met de definitie van R want daarin mogen alleen verzamelingen zitten die zich zelf niet als element hebben. Kortom: als R tot R behoort dan kan het niet tot R behoren. Een strijdigheid die wel moet betekenen dat R tot V moet behoren. Maar R heeft zichzelf als niet als element terwijl in V alleen maar verzamelingen mogen zitten die zichzelf wel als element hebben. Alweer een strijdigheid dus. Beide mogelijkheden moeten verworpen worden. Deze strijdigheid is de paradox van Russell.

Reacties

De paradox van Russell is ernstig. In de klassieke logica geldt immers dat als er ergens een tegenstrijdigheid gevonden wordt dat dan alle beweringen waar zijn. De naïeve verzamelingenleer kan in een klap geen onderscheid meer maken tussen ware stellingen over eigenschappen van verzamelingen en onware stellingen. Mocht iemand willen beweren dat alle verzamelingen eindig zijn, dan is het waar en wanneer iemand beweert dat alle verzamelingen oneindig zijn, dan is het ook waar. Als de paradox van Russell niet weggewerkt kan worden, vervalt de basis van de verzamelingenleer. Dat heeft ook consequenties voor de wiskunde als geheel omdat men in staat is gebleken om vrijwel de gehele wiskunde te baseren op de leer der verzamelingen. Het grote gevaar dat er in de wiskunde geen onderscheid meer bestaat tussen waar en onwaar moest geweerd worden.

Russell zelf kwam met zijn “theory of types”. Hij constateerde dat de paradox ontstaat doordat men verzamelingen van verzamelingen in verzamelingen probeerde te rubriceren. Wanneer de verzamelingen aan de hand van eigenschappen (de P(x) worden opgebouwd dan verbiedt deze theorie om die eigenschap op de aldus gemaakte verzameling toe te passen. Op die manier bleek het mogelijk om de soorten van verzamelingen die gebruikt werden in de (grondslagen van de) wiskunde overeind te houden en toch de contradicties te vermijden.

Een andere uitweg bestond uit een volledig nieuwe axiomatisering van de verzamelingenleer. Zermelo en Fraenkel hebben een stelsel van axioma’s opgesteld waarin Russell’s paradox niet meer kon voorkomen. De crux van hun werkwijze bestond er in om de mogelijkheid tot het creëren van verzamelingen in te perken. Wanneer in deze theorie een of andere x met een eigenschap P)x) beoordeeld moet worden, dan wordt geëist dat er al een verzameling moet bestaan waar x een element van is. Zolang P(x) logisch consistent is kunnen er geen verzamelingen gevormd worden met strijdige eigenschappen.

Slotwoord

Russel’s paradox leek een mokerslag voor de verzamelingenleer en daardoor voor de wiskunde als geheel. Althans voor sommigen. Weinig praktiserende wiskundigen zullen er wakker van hebben gelegen (hun wiskunde werkte nog als vanouds) maar toch heeft het veel logici en wiskundigen gedwongen om eens goed na te denken over de grondslagen van hun vak. Met name de Duitse wiskundige Hilbert heeft met veel verve zijn collega’s aangezet om de wiskunde op stevige fundamenten neer te zetten. Deze pogingen zijn in elk geval voor een deel geïnspireerd door Russel’s paradox, al speelden ook veel andere paradoxen en problemen hierin een rol. Dat zoeken naar goede fundamenten heeft niet alleen geleid tot een stevige grondslag voor de verzamelingenleer (onder andere door het werk van Zermelo en Fraenkel) maar ook tot zulke spectaculaire vondsten als de stelling van Gödel.

Niet alleen dat. Er zijn ook logici opgestaan die het aloude paradigma dat van elke bewering moet kunnen worden gezegd of het waar of niet waar is verlaten. Er worden logica’s opgesteld waarin tegenstrijdigheden wel zijn toegestaan maar waarin het effect ervan binnen de perken wordt gehouden. Waartoe dat zal leiden weet geen mens, maar het is een fascinerende nasleep van de paradox van Russell.

Lees verder

• Waarom de klassieke logica geen strijdigheden accepteert