Vierkantsvergelijkingen en hoe ze op te lossen

Vierkantsvergelijkingen en hoe ze op te lossen Een vierkantsvergelijking is in de wiskunde een vergelijking in de van de vorm ax^2+bx+c=0. Hierbij zijn a,b en c constante getallen, waarbij a geen nul is. Het oplossen van vierkantsvergelijkingen is erg nuttig als het gaat om rekenen met kwadratische functies, bijvoorbeeld om de nulpunten van een functie op te lossen. Een handig techniek hievoor is de ABC-formule (en de daarbij horende discriminant).

De oplosmethode

Een vierkantsvergelijking van de vorm ax^2 + bx + c = 0 kan opgelost worden met de volgende stappen:

(1) Onderzoek of de vierkantsvergelijking ax^2 + bx + c = 0 gemakkelijk kan worden ontbonden in factoren(waarbij a=1)

(1a) (x+d)(x+e) = 0, waarbij d + e = b en d*e = c
(1b) (x + d) = 0 of (x + e) = 0
x = -d of x = -e

(2) Lukt het niet op deze manier, dan kan de ABC-formule van pas komen. Hiervoor is het handig eerst de discriminant te berekenen:

(2a) D = b^2 - 4ac. Voor D>0 zijn er twee reële oplossingen voor de vierkantsvergelijking.
Voor D=0 is er precies 1 reële oplossing.
Voor D<0 zijn er geen reële oplossingen.

(2b) De oplossingen zijn nu te vinden door de ABC-formule toe te passen:

x = (-b + √D)/2a of x = (-b - √D)/2a

Twee voorbeelden

(1) x^2 + x - 2
Ontbinden in factoren geeft: (x-1)(x+2) = 0 → x - 1 = 0 of x + 2 = 0 → x = 1 of x = -2

(2) 3x^2 + 8x - 2

D=8^2 - 4 * 3 * -2 = 64 + 24 = 88 → 2 oplossingen

X=(-8 + √88)/(2*3)=0,23 of x=(-8 - √ 88)(2*3)=-2,90

Complexe oplossingen

Naast reële oplossingen kunnen vierkantsvergelijkingen ook complexe oplossingen hebben. Deze doen zich voor als de discriminant (D) kleiner is dan 0. De oplossingen hebben dan de vorm a ± bi , waarbij a en b reële getallen zijn en i de imaginaire eenheid, zodat i^2 = - 1. De oplossingen a + bi en a - bi zijn elkaars complex geconjugeerde.

Twee voorbeelden

(1) x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1 = 0 → x + 1 = ± i → x = -1 ± i

(2) x^2 + 3x + 9 = 0

Met de ABC-formule:

x = (-3 ± (9 - 36)^0,5)/2 = -1.5 ± 2.5i
© 2007 - 2020 Krohndehli, het auteursrecht (tenzij anders vermeld) van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Kwadratische vergelijkingen oplossenEr zijn vier verschillende kwadratische vergelijkingen op te lossen. Het is daarom altijd belangrijk om eerst te kijken…
Vergelijkingen oplossen met algebraIn de moderne wiskunde is oplossen met algebra steeds belangrijker aan het worden. In iedere lesmethode is hier iets ove…
Wiskunde: Hoe los je een kwadratische vergelijking op?Wiskunde: Hoe los je een kwadratische vergelijking op?Kwadratische vergelijkingen komen veel voor in de wiskunde. En niet alleen in de wiskunde. Ze komen eigenlijk voor in al…
Vergelijkingen oplossen(2): kwadratische vergelijkingenVergelijkingen oplossen(2): kwadratische vergelijkingenIn het tweede deel van deze serie gaan we kwadratische vergelijkingen oplossen. De kwadratische vergelijking is een stuk…

Wiskunde, een grote mysterie?Wiskunde, een grote mysterie?Wiskunde is een zeer brede richting in de wetenschap. Het is een van de oudste wetenschappen en kan beschouwd worden als…
Soorten getallenIn de wiskunde zijn verschillende soort getallen bekend. Deze soorten getallen hebben allen hun eigen eigenschappen. Zo…

Reageer op het artikel "Vierkantsvergelijkingen en hoe ze op te lossen"

Plaats als eerste een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Ik ga akkoord met de privacyverklaring en ben bekend met de inhoud hiervan
Infoteur: Krohndehli
Laatste update: 20-01-2009
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Schrijf mee!