Cirkel en een bol: omtrek, oppervlak en volume berekenen

Een cirkel is een tweedimensionaal figuur gevormd door een lijn waarvan de punten allen dezelfde afstand hebben tot hetzelfde middelpunt. Het oppervlak van de cirkel heet een schijf, veel voorwerpen hebben de vorm van een cirkel, bijvoorbeeld een wiel. Wanneer een cirkel om haar middellijn zou wentelen neemt ze de ruimte in van een bol. Een bol is een driedimensionaal lichaam waarvan alle punten op het oppervlak een gelijke afstand tot het middelpunt van de bol hebben. Veel voorwerpen hebben de vorm van een bol, bijvoorbeeld een voetbal maar ook onze planeet.

Inhoud

• Kenmerken van een cirkel
• De omtrek van een cirkel bepalen
• Het oppervlak van een cirkelschijf bepalen
• Kenmerken van een bol
• Het oppervlak van een bol bepalen
• De inhoud van een bol bepalen

Kenmerken van een cirkel

Een cirkel is een tweedimensionaal figuur waarbij de lijn, die dit figuur vormt, wordt gevormd door punten die allen dezelfde afstand tot hetzelfde middelpunt hebben. De lijn wordt een cirkel genoemd, maar de verzameling van alle punten op en binnen de cirkel wordt een schijf genoemd. In het midden van een cirkel ligt het middelpunt en deze wordt aangeduid met de letter m. De afstand van het middelpunt tot aan de cirkel heet de straal en wordt met de letter r aangegeven. De rechte lijn die door twee verschillende punten op de cirkel en door het middelpunt loopt, en precies op de cirkel begint en eindigt heet de diameter en heeft een lengte van tweemaal de straal. De diameter wordt met de letter d aangegeven en wordt ook de middellijn genoemd. Wanneer drie punten een driehoek vormen, dan loopt door deze drie punten altijd een cirkel waarvan het middelpunt op dezelfde plek ligt als het snijpunt dat de middelloodlijnen van de driehoek met elkaar vormen. Een middelloodlijn is de lijn die in een hoek van 90 graden op het midden van een andere lijn of zijde staat. Ook de punten van een gelijkzijdige driehoek raken de cirkel op drie plekken, als deze driehoek 120 graden gedraaid wordt dan vallen de hoeken van de driehoek op dezelfde plekken van de cirkel.

Voorbeelden van de cirkel in de praktijk

De cirkel en de schijf komen we in de praktijk overal tegen, in een wiel, een lens van een fotocamera, luidsprekers van een luidsprekerbox, serviesgoed, lampenkappen, leidingen en buizen en in nog vele andere voorbeelden. Ook planeten worden soms als schijf aangeduid, terwijl ze in werkelijkheid natuurlijk bolvormig zijn.

De omtrek van een cirkel bepalen

De omtrek van een cirkel wordt aangeduid met de letter O, het is een lengtemaat en deze wordt in de lengte-eenheid meters uitgedrukt. De formule luidt:


π (pi) is hierin een getal dat de verhouding aangeeft tussen de omtrek van een cirkel en de diameter, en bedraagt bij benadering 3,14159 en wordt voor het gemak zelfs vaak met 3,14 aangeduid. Een cirkel met een diameter van 60 cm heeft dan een omtrek van 2 * 3,14 * 0,30 = 1,884 meter. Fietswielen met een diameter van 26, 28 of 29 inch hebben dan respectievelijk een omtrek van 2,07 en 2,23 en 2,31 meter. Heeft het voorste tandwiel van de fiets 40 tanden en het achterste tandwiel 15 dan zal men 168 rondjes moeten trappen om 1 kilometer te rijden op een fiets met 28 inch wielen.

Het oppervlak van een cirkelschijf bepalen

De formule van het oppervlak van een cirkel (de schijf) is eveneens eenvoudig. Men neme het kwadraat van de straal r en vermenigvuldigt deze met het getal π. Het oppervlak is een natuurkundige grootheid met als symbool A. Deze grootheid wordt in de oppervlakte-eenheid vierkante meters uitgedrukt. De formule luidt:


Een cirkel met een diameter van 60 cm, heeft een straal r van 30 cm. Het oppervlak bedraagt dan 3,14 * 0,30² = 0,2826 m². Het oppervlak kan ook met de formule 0,25 * π * d² worden berekend.

Kenmerken van een bol

Is een cirkel een tweedimensionaal figuur, een bol is een driedimensionaal lichaam waarvan alle punten op het oppervlak van de bol op eenzelfde afstand tot het middelpunt van de bol liggen. Alle resterende punten van de bol liggen binnen dit oppervlak. Het oppervlak wordt ook sfeer genoemd. Veel voorwerpen uit de praktijk zijn een bol, denk aan een voetbal of tennisbal. Ook planeten zijn een bol, weliswaar zijn de polen van planeten wat afgeplat. Wanneer een munt snel om zijn as wordt gedraaid door er tegenaan te tikken neemt deze munt eveneens de ruimte van een bol in. Van alle driedimensionale voorwerpen heeft de bol het kleinst mogelijke oppervlak ten opzichte van haar inhoud.

Het oppervlak van een bol bepalen

Net als een cirkelschijf heeft ook een bol een oppervlak. De formule om dit te berekenen luidt:


Een bol van 10 cm breed heeft dan een oppervlak van 0,0314 m² ofwel 314 cm². De planeet aarde heeft een diameter van 12.756 km. Voor het gemak even hypothetisch veronderstellend dat de aarde een perfecte bol is zonder afgeplatte polen, dan heeft ze ongeveer een oppervlak van 510.926.783 km², dus maar liefst 511 miljoen vierkante kilometer.

De inhoud van een bol bepalen

Tot slot heeft een bol als driedimensionaal lichaam een inhoud of volume. Het volume wordt aangeduid met de letter V en wordt in de volume-eenheid kubieke meters uitgedrukt. De formule luidt als volgt:


Een bol van een meter in doorsnede heeft dan een inhoud van 0,52 m³. De planeet aarde heeft met een gegeven diameter van 12.756 km dan een inhoud van ongeveer 1.086.230.340.743 km³, dus 1086 miljard kubieke kilometer. Dit is misschien veel maar de zon heeft (met een diameter van 1,393 miljoen kilometer) met 1.414.593.789.163.333.333 km³ ofwel 1415 biljard km³ toch heel wat meer volume. Dat is ongeveer 1.302.296 keer zoveel als het volume van de planeet aarde.