Storingsrekening: toepassingen en voorbeelden

Wiskundige modellen kunnen slechts zelden exact worden opgelost. Storingsrekening is een methode die soms toegepast kan worden om oplossingen te benaderen. Het model moet dan geschreven worden als een 'verstoorde' versie van een ander model dat wel exact oplosbaar is. Men onderscheidt reguliere en singuliere storingsrekening. In het geval van reguliere storingsrekening zullen de oplossingen in de limiet dat de verstoring naar nul gaat, gelijk worden aan de oplossingen van het exact oplosbaar model. In het geval van singuliere storingsrekening is dat niet zo, in de limiet waarbij de verstoring naar nul gaat kunnen de oplossingen divergeren naar oneindig.

Toepassingen van storingsrekening

Hemelmechanica

Eén van de eerste toepassingen van storingsrekening was in de hemelmechanica. Formules voor planeetbanen waren bekend uit het werk van Kepler. De wetten van Kepler zijn later bewezen door Newton uit zijn drie mechanicawetten. Hierbij wordt het effect van de zwaartekracht tussen de planeten onderling verwaarloosd. Om toch het effect van de onderlinge zwaartekracht in rekening te brengen, kan men storingsrekening toepassen. Newton was de eerste die dat heeft gedaan om het effect van de zwaartekracht van de zon op de baan van de maan te bepalen. Later hebben wiskundigen zoals Laplace en Gauss een belangrijke bijdrage geleverd aan de wiskundige formulering van storingsrekening toegespitst op hemelmechanica.

Vloeistofmechanica

De stromingssnelheid van een vloeistof als een functie van positie en tijd voldoet aan de zogenaamde 'Navier-Stokes-vergelijkingen', deze niet-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen kunnen alleen in speciale gevallen exact worden opgelost. Storingsrekening kan soms met succes worden toegepast. Het gedrag van vloeistoffen aan de rand van het stromingsgebied vertoont vaak zogenaamde 'grenslagen', de beschrijving hiervan heeft de ontwikkeling van singuliere storingsrekening gestimuleerd.

Een vloeistof die door een pijp stroomt zal een stromingssnelheid van nul hebben, precies waar het contact maakt met de pijp. Ook al is de stromingssnelheid erg groot en is de stroming turbulent, in de buurt van de rand zal de snelheid kleiner worden, de stroming zal dicht bij de rand laminair worden en uiteindelijk op de rand zelf nul worden. Het overgangsgebied in de buurt van de rand waar de stroming zich anders gedraagt dan in de bulk, wordt de grenslaag genoemd. Door de viscositeit als kleine parameter te behandelen en singuliere storingsrekening toe te passen kan men de stroming in de grenslaag goed beschrijven. Naarmate de viscositeit kleiner wordt gekozen in het model, zal dikte van de grenslaag kleiner worden. De gradiënt van het snelheidsveld op de rand van de pijp zal dan divergeren naar oneindig in de limiet dat de viscositeit naar nul gaat.

Storingsrekening wanneer er geen 'kleine parameter' is

Storingsrekening werkt het beste wanneer de storingsterm klein is. In veel gevallen is de gehele storingsreeks divergent maar wel bruikbaar als een asymptotische reeks in de storingsparameter. Dit betekent dat, voor een vast aantal termen van de reeks, de fout naar nul gaat evenredig met de eerste weggelaten term. Als we voor een kleine waarde van een storingsterm steeds meer termen van de reeks nemen, dan zullen de partiële sommen eerst steeds kleiner worden, maar uiteindelijk worden de termen weer groter. Voor grote waarden van de storingsparameter zullen de opeenvolgende termen meteen steeds groter gaan worden.

Om toch gebruik te kunnen maken van storingsrekening voor grote waarden van de storingsparameter moet men dus de divergentie van de storingsreeks het hoofd bieden. Hiervoor zijn verschillende hersommatie-methoden beschikbaar.

Reguliere storingsrekening toegepast op een algebraïsche vergelijking

De vergelijking:

• x^5 + x - 1 = 0 (1)

heeft vijf oplossingen in het complexe vlak. We kunnen deze oplossingen benaderen door storingsrekening toe te passen, bijvoorbeeld door de 'x' in de vergelijking te vervangen door 'g x' en dan de oplossing systematisch in machten van g te ontwikkelen. De oplossingen worden dan uiteindelijk verkregen door g = 1 te stellen in de verkregen reeks. We beschouwen dus de vergelijking:

• x^5 + g x - 1 = 0

en we substitueren hierin de machtreeks:

• x(g) = x0 + x1 g + x2 g^2 + x3 g^3 + ...

Dit geeft:

• x0^5 -1 + (x0 + 5 x0^4 x1) g + (x1 + 10 x0^3 x1^2 + 5 x0^4 x2) g^2 + (10 x0^2 x1^3 + x2 + 20 x0^3 x1 x2 + 5 x0^4 x3) g^3 + ... = 0

De linkerkant van de vergelijking is dus nul als een functie van g, en dat betekent dat de coëfficiënten van alle machten van g afzonderlijk nul moeten zijn. De constante term in g nul stellen geeft:

• x0 = Exp(2 pi i n/5)

waarin n een integer is. Dit geeft dus de vijf oplossingen van het onverstoorde model. De coëfficiënt van g nul stellen geeft:

• x1 = -1/5 Exp[4 pi i n/5]

Vervolgens vinden we door de coëfficiënt van g^2 nul te stellen dat:

• x2 = -1/25 Exp[-4 pi i n/5]

En x3 volgt dan door de coëfficiënt van g^3 nul te stellen:

• x3 = -1/125 Exp[-2 pi i n/5]

Optellen van deze 3 termen voor n = 0, 1, 2, 3, 4, geeft dan de volgende benadering voor de vijf oplossingen:

1. x = 0.75
2. x = 0.5 + 0.86 i
3. x = -0.88 +0.74
4. x = -0.88 - 0.74 i
5. x = 0.5 - 0.86 i

Singuliere storingsrekening toegepast op een algebraïsche vergelijking

We kunnen de oplossingen van (1) ook benaderen m.b.v. singuliere storingsrekening door deze te schrijven als:

• g x^5 + x - 1 = 0 (2)

waarbij we weer een ontwikkeling in machten van g uitvoeren. Als we de procedure als in het geval van de reguliere storingsrekening volgen dan schrijven we de oplossingen van (2) als

• x(g) = x0 + x1 g + x2 g^2 + x3 g^3 + x4 g^4 + ....

Dit geeft het resultaat:

• x0 = 1
• x1 = -1
• x2 = 5
• x3 = -35
• x4 = 285
• x5 = -2530

We vinden dan dus maar één oplossing, waar zijn de andere vier gebleven? Wat er hier gebeurt is dat naarmate g steeds kleiner wordt gekozen, er vier oplossingen weglopen naar oneindig. Dit zijn de zogenaamde singuliere oplossingen. In de limiet dat g nul wordt zijn de singuliere oplossing verdwenen en de vergelijking is dan ook een eerstegraads vergelijking in die limiet die één oplossing heeft, de zogenaamde reguliere oplossing. Om de vier singuliere oplossingen te vinden moeten we x(g) herschalen zodanig dat het weglopen van deze oplossingen naar oneindig teniet wordt gedaan. Om deze herschaling uit te voeren definiëren we een nieuwe functie y(g):

• y(g) = x(g) g^p

waarbij de macht p groter dan nul is en we die zo gaan kiezen dat in termen van y(g) de singuliere oplossingen niet meer naar oneindig gaan wanneer g naar nul gaat. Dit moet op een precieze manier worden gedaan, als we de macht p te hoog kiezen dan schalen we de singuliere oplossingen naar nul en zullen deze daar samenvallen met de reguliere oplossing. Als we (2) schrijven in termen van y, dan vinden we:

• g^(1-5 p) y^5 + g^(-p) y -1 = 0

We kunnen nu zien wat er gebeurt als we voor vaste p g naar nul laten gaan. In die limiet domineert de term met een coëfficiënt die de kleinste macht van g bevat. Wanneer we p zo kiezen dat die kleinste macht hetzelfde wordt voor twee of meer termen, dan spreken we van significante degeneratie. De juiste manier van herschalen zal altijd overeenkomen met een significante degeneratie omdat we precies op de grens moeten gaan zitten tussen het weglopen van singuliere oplossingen naar nul en het samenvallen van singuliere oplossingen naar nul. Deze twee gevallen komen overeen met het dominant worden van verschillende termen, op de grens van die mogelijkheden moeten dus verschillende termen net zo dominant zijn.

In dit geval treed er in het gebied voor p>0 één significante degeneratie op, namelijk wanneer 1-5p = -p, ofwel p = 1/4. Merk op dat wanneer 1-5 p gelijk is aan 0, dus voor p = 1/5 wanneer de term evenredig met y^5 net zo dominant is als de constante term, dat dan de term evenredig met y de dominante term is want die is dan evenredig met g^(-1/5). Er is dan dus geen sprake van significante degeneratie. Voor p = 1/4 kunnen we de vergelijking schrijven als:

• y^5 + y - g^(1/4) = 0

We kunnen de oplossing schrijven als een storingsreeks in machten van g^(1/4):

• y = y0 + y1 g^(1/4) + y2 g^(1/2) + y3 g^(3/4) + y4 g + ...

Invullen in de vergelijking en gelijkstellen van gelijke machten van g geeft dan de vier singuliere en de reguliere oplossingen. De eerste paar termen van de singuliere oplossingen zijn:

• y0 = Exp[1/4 i (1+2 n) pi]
• y1 = -1/4
• y2 = 5/32 Exp[3/4 i (1+2 n) pi]
• y3 = 5/32 i (-1)^n

De singuliere oplossing voor x is dus:

• x(g) = Exp[1/4 i (1+2 n) pi] g^(-1/4) + -1/4 + 5/32 Exp[3/4 i (1+2 n) pi] g^(1/4) + 5/32 i (-1)^n g^(1/2) + ...

De reguliere oplossing die we al eerder hadden gevonden is:

• x(g) = 1 - g + 5 g^2 - 35 g^3 + 285 g^4 - 2530 g^5 + 23751 g^6 ...

Deze reeksen convergeren niet voor g = 1, toch kunnen we met een hersommatie-methode de waarde voor g = 1 benaderen.

Hersommatie m.b.v. Padé-approximanten

Een eenvoudige hersommatie-methode is het herschrijven van een reeks als een zogenaamde Padé-approximant. Dit is een rationele functie van de storingsparameter waarvan de reeksontwikkeling overeenkomt met de bekende termen van de storingsreeks. Padé-approximanten waarvan de teller een n-degraads polynoom is en de noemer een m-degraads polynoom worden bepaald door n+m+1 vrije parameters. Dit volgt uit het feit dat een n-degraads polynoom door n+1 coëfficiënten wordt vastgelegd, dus komen er n+m+2 parameters voor in de rationele functie maar één van die parameters kunnen we altijd gelijk stellen aan een door de teller en noemer te delen door die parameter, bijvoorbeeld de coëfficiënt van x^n in de noemer die niet gelijk kan zijn aan nul. We kunnen dus een r-de orde storingsreeks schrijven als een Padé-approximant waarvan de som van de graden van teller en noemer gelijk is aan r.

De reguliere oplossing:

• x(g) = 1 - g + 5 g^2 - 35 g^3 + 285 g^4 - 2530 g^5 + 23751 g^6 +...

kunnen we dus herschrijven als P(g)/Q(g) waarin P(g) en Q(g) allebei derdegraads polynomen zijn. Om deze te bepalen kunnen we X(g) vermenigvuldigen met Q(g) geschreven als een algemene derdegraads polynoom met onbepaalde coëfficiënten, de coëfficiënten van g^4, g^5 en g^6 moeten dan nul zijn omdat het resultaat P(g) moet zijn (tot op orde g^6, want P(g)/Q(g) gaat afwijken van X(g) met termen van orde g^7 en hoger, zulke termen vermenigvuldigd met de constante term in Q(g) zal dus termen van orde g^7 en hoger produceren), wat dan drie vergelijkingen geeft. Eén coëfficiënt in Q(g) kun je altijd gelijk aan 1 kiezen door de teller en noemer daarmee te delen, dus deze vergelijkingen bepalen Q(g).

Als we deze procedure uitvoeren vinden we:

• P(g) = 1 + 1526/95 g + 2475/38 g^2 + 4454/95 g^3
• Q(g) = 1 + 1621/95 g + 14667 g^2/190 + 2803/38 g^3

De Padé-hersommatie voor g = 1 is dan dus P(1)/Q(1) wat ongeveer 0.76 is.