Straal cirkel door drie punten bepalen

Straal cirkel door drie punten bepalen Indien men het oppervlak en/of de omtrek van een cirkel weet, dan kan daaruit snel de straal worden achterhaald. Dit wordt anders als men door drie verschillende punten of coördinaten een cirkel moet maken. Het is daarbij de vraag wat de feitelijke straal is en waar het middelpunt ligt. Hoe kan op basis van drie coördinaten (oftewel lengte van de drie zijden is bekend) de straal van een cirkel worden bepaald?

Straal cirkel door drie punten bepalen


Omtrek en oppervlak

De omtrek van een cirkel is vastgelegd met de volgende relatie: O = 2*π*r = π*d met daarin r = straal, d = diameter en π = 3,14 (afgerond). Oftewel de diameter past 3,14 maal in de omtrek. Weet men de omtrek, dan kan daaruit direct de straal worden bepaald:
  • r = O / (2*π) bij een O = 31,41 geldt r = 34,41 / (2*π) = 5;
  • d = O / π geldt r = 34,41 / π = 10.

Het oppervlak van een cirkel wordt uitgedrukt in de volgende relatie: A = π*r^2 = ¼*π*d^2. Daarin is r de straal en d de diameter. Is het oppervlak bekend, dan kan uit deze vergelijking rechtstreeks de straal en diameter worden bepaald. Oftewel:
  • r = √(A/π) bij een A = 78,53 geldt √(78,53/π) = √25 = 5;
  • d = √(4*A/π) hierbij geldt √(4*78,53/π) = √100 = 10 = 2*5.

Basis en hoek

Indien men de lengte van de basis kent en de overige zijden zijn even lang, dan kan het worden bepaald met L/√3. Is slechts de basis en overliggende hoek bekend, dan geldt 2r = a/sinA = b/sinB = c/sinC. Oftewel:
  • r = L/√3 bij een basislengte van L = 8,66 geldt r = 8,66/√3 = 5;
  • r = a/(2*sinA) bij een a = 8,66 en A = 60° geldt r = 8,66 / (2*sin60°) = 5.

Maar wat moet men doen als men drie punten of coördinaten heeft?

Drie coördinaten vertalen naar afstand

Heeft men drie punten oftewel coördinaten, dan staat de straal van de cirkel vast. Het wordt daarbij bepaald door de onderlinge afstand tussen deze punten. Oftewel men moet de coördinaten vertalen naar de werkelijke tussenafstand. Stel punt A ligt op (x1,y1), punt B op (x2,y2) en punt C op (x3,y3) dan geldt voor de tussenafstand het volgende:
  • lengte A-B = √[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2];
  • lengte A-C = √[(x3-x1)^2+(y3-y1)^2];
  • lengte B-C = √[(x3-x2)^2+(y3-y2)^2].

Stel A ligt op (0,0), B ligt op (2,3) en C ligt op (4,5), wat zijn dan de verschillende lengten tussen de punten?:
  • lengte A-B = √[(2-0)^2+(3-0)^2] = √13 = 3,60;
  • lengte A-C = √[(4-0)^2+(5-0)^2] = √41 = 6,40;
  • lengte B-C = √[(4-2)^2+(5-3)^2] = √8 = 2,82.

Omdat één zijde ten opzichte van de andere twee relatief lang is, gaat het om een langwerpig en platte driehoek. Dit zal resulteren in een relatief grote straal. Uiteraard kan men ook de lengte van de drie schuinen rechtstreeks opmeten, zodat men het direct in de volgende formule kan invullen.

Straal cirkel bepalen met drie lengten

Op basis van voorgaande lengten kan middels volgende formule de lengte van de straal worden bepaald.
  • r = A*B*C / √[(A+B+C)*(A+B-C)*(A+C-B)*(B+C-A)];
  • r = √13*√41*√8/√[(√13+√41+√8)*(√13+√41-√8)*(√13+√8-√41)*(√41+√8-√13)];
  • r = 65,30 / √[12,84*7,18*0,03*5,62] = 16,56.

Stel men weet de volgende lengtes A = 5,2, B = 8,7 en C = 10 dan bedraagt de straal:
  • r = 5,2*8,7*10 / √(5,2+8,7+10)*(5,2+8,7-10)*(5,2+10-8,7)*(8,7+10-5,2);
  • r = 452,4 / √[23,9*3,9*6,5*13,5] = 452,4/90,4 = 5,00.

Door vanaf de drie punten de berekende straal te tekenen, vindt men bij het kruispunt het middelpunt van de cirkel. Trek daarna vanaf het gevonden middelpunt de straal, zodat de drie coördinaten worden gekruist.

Lees verder

© 2015 - 2020 Geinformeerd, het auteursrecht (tenzij anders vermeld) van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Omtrek berekenen van een wiskundig figuurOmtrek berekenen van een wiskundig figuurHet komt regelmatig voor dat je moet weten wat de omtrek van iets is. Het is daarom handig om te weten hoe je de omtrek…
Pi, getallen tot in het oneindigePi, getallen tot in het oneindigeHet getal Pi, oneindig gebruikt in de wiskunde, met oneindig veel decimalen achter de komma. Wat is ‘het geheim’ achter…
Cirkel en een bol: omtrek, oppervlak en volume berekenenCirkel en een bol: omtrek, oppervlak en volume berekenenEen cirkel is een tweedimensionaal figuur gevormd door een lijn waarvan de punten allen dezelfde afstand hebben tot hetz…
Hoe reken je het weerstandsmoment voor sterkte uit?Hoe reken je het weerstandsmoment voor sterkte uit?Om de sterkte van een balk te kunnen uitrekenen moet worden nagegaan in hoeverre het weerstandsmoment voldoet. Ieder vor…

Codevariabelen bij lineaire regressieCodevariabelen bij lineaire regressieLineaire regressiemodellen kunnen soms erg ingewikkeld zijn. Zo komt het regelmatig voor dat een model eigenlijk teveel…
De repeated measures ANOVADe repeated measures ANOVABij onderzoeken gebeurt het vaak dat één proefpersoon, of een groep proefpersonen, meerdere metingen ondergaat. Dit is b…
Bronnen en referenties
  • Onderstaande bronnen zijn geraadpleegd op 12 mei 2015:
  • http://www.wetenschapsforum.nl/index.php/topic/54886-straal-cirkel-berekenen-door-3-punten/
  • http://www.mathopenref.com/lawofsines.html

Reageer op het artikel "Straal cirkel door drie punten bepalen"

Plaats als eerste een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Ik ga akkoord met de privacyverklaring en ben bekend met de inhoud hiervan
Infoteur: Geinformeerd
Laatste update: Maart 2017
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Special: Zwaartepunt
Bronnen en referenties: 3
Schrijf mee!