Waarom de klassieke logica geen strijdigheden accepteert

In de klassieke logica worden geen tegenstrijdigheden geaccepteerd. Verschillende bewijsmethoden zijn gebaseerd op dit feit. We laten zien dat het niet accepteren van contradicties rechtstreeks te maken heeft met de wet van het uitgesloten derde. Een bewering is waar of niet waar. Een derde mogelijkheid is er niet. Onder deze condities betekent het toelaten van een contradictie dat elke willekeurige bewering waar zou worden. De logica wordt dan volstrekt waardeloos omdat er geen onderscheid meer is tussen wat waar is en wat niet waar is.

De wet van het uitgesloten derde

Een belangrijk kenmerk van elke klassieke logica is de wet van het uitgesloten derde. Een bepaalde bewering is waar of niet waar. Een derde mogelijkheid is er niet. In termen van de klassieke logica bij uitstek, de propositielogica (voor een uitleg zie (Propositielogica: waarheidstafels), kunnen we het symbool P gebruiken voor een willekeurige bewering. Dan moet het dus zo zijn dat P waar is of dat niet P, gesymboliseerd door ¬P, waar is. Dit kan samengevat worden in een formule die altijd waar is

• P ∨ ¬P

waarin het symbool ∨ gelezen moet worden als "of". Een formule van de vorm P ∨ Q moet gelezen worden als: P is waar, of Q is waar of zowel P als Q zijn waar. De bewering (P ∨ ¬P) is altijd waar als de wet van het uitgesloten derde geldt.

Een bewering die altijd waar is, wordt een tautologie genoemd. Maar als P ∨ ¬P waar is, dan moet de volgende formule, die de ontkenning is van de vorige formule, altijd niet waar zijn

• ¬(P ∨ ¬P).

Een bewering die nooit waar kan zijn wordt een contradictie genoemd. De ontkenning van een tautologie is een contradictie en de ontkenning van een contradictie is een tautologie. Er bestaan overigens logische systemen waarin het bovenstaande niet geldt. De wet van het uitgesloten derde geldt daarin niet. Voorbeelden daarvan zijn de intuïtionistische logica en de verschillende meerwaardige logica's. Deze laten we hier buiten beschouwing.

Bewijzen uit het ongerijmde

Elke redenering in een klassieke logica, of, anders gezegd, elke formule en alles wat daarvan afgeleid kan worden, die leidt tot een contradictie kan dus tot een niet ware conclusie leiden. Dit wordt vaak gebruikt bij de bewijzen uit het ongerijmde. Daarin wordt (tijdelijk) een bepaalde bewering voor waar aangenomen totdat men kan bewijzen dat het leidt tot een contradictie. Men moet dan concluderen dat de aangenomen bewering niet waar is. Dus als de redenering begint met een bewering P en men leidt daaruit een contradictie af dan moet geconcludeerd worden dat P niet waar en dus, door de wet van het uitgesloten derde, dat ¬P wel waar is.

Een voorbeeld van een bewijs uit het ongerijmde

Een bekend voorbeeld van een bewijs uit het ongerijmde is het bewijs dat er geen gehele getallen n en m bestaan zodanig dat n/m=√2. Om dit te bewijzen neemt men aan dat er wel zulke getallen n en m bestaan. We hebben dan als startbewering het volgende

• P = er bestaan gehele getallen n en m zodanig dat n/m=√2

Om te zien dat P tot een contradictie leidt nemen we aan dat de breuk n/m niet verder vereenvoudigd kan worden. Dat mogen we doen omdat als de breuk wel vereenvoudigd kan worden we beide termen door hetzelfde getal kunnen delen zonder dat de waarde van de breuk veranderd. Als n=2 en m=10 dan hebben we de breuk 2/10. Deze kan vereenvoudigd worden door beide termen door 2 te delen zodat we 1/5 overhouden. Uiteraard geldt dat 2/10=1/5.

We mogen nu dus schrijven dat

• 2= (n/m)²

oftewel dat

• 2n²=m²

Dat betekent dat m² een even getal is en dus ook dat m een even getal is (immers, alleen kwadraten van even getallen zijn even). Er is dus een getal p zodanig dat

• m=2p

Dit kan weer in de formule worden ingevuld wat het volgende oplevert

• 2n²=(2p)²=4p²

wat weer leidt tot

• n²=2p²

Maar dan moet ook n een even getal zijn. We hebben dus afgeleid dat zowel n als m even getallen zijn. Maar dat kan helemaal niet omdat we mochten aannemen dat n en m geen gemeenschappelijke factoren hebben.

Hiermee is aangetoond dat de bewering P niet waar kan zijn. Volgens de wet van het uitgesloten derde moeten we dus concluderen dat ¬P wel waar is. Er bestaan dus geen gehele getallen n en m zodanig dat n/m=√2. De wortel uit 2 kan niet als een breuk geschreven worden (het is geen rationeel getal).

Een contradictie is er een te veel

Men zou zich kunnen afvragen waarom een enkele contradictie eigenlijk zo erg is. Is het niet teveel gevraagd om telkens weer als een contradictie gevonden wordt direct maar te concluderen dat het tegendeel ervan wel waar is? Is het niet mogelijk dat er toch niet ergens een bewering bestaat die waar is en tegelijk ook niet waar?

Welnu, dat gaat echt niet. Zou men een zo'n bewering toelaten, dan wordt de hele klassieke logica in een klap volstrekt waardeloos. De reden is dat als er ook maar een contradictie waar is, dat dan alle beweringen waar worden. Zonder uitzondering. Het bewijs hiervoor is wederom eenvoudig. Laat P een bewering zijn waarvoor geldt dat P waar is en dat tegelijk niet P (¬P) ook waar is. We mogen dan voor waar het volgende opschrijven

• P ∧ ¬P

waarin het symbool staat voor het logische "en".

Omdat P waar is, mogen we ook zeggen dat P of Q waar is voor een willekeurige uitspraak Q. Maar dezelfde redenering leidt ook tot de conclusie dat niet P of Q waar is. We hebben dus nu twee ware uitspraken

• P ∨ Q
• ¬P ∨ Q

Volgens de wet van het uitgesloten derde moet het zo zijn dat een van de twee uitspraken P en ¬P waar is. Maar als niet P waar is dan is P niet waar en dus moet Q waar zijn. Andersom, als P waar is dan is niet P niet waar en moet wederom Q waar zijn. Uit beide redeneringen tezamen volgt onomstotelijk dat Q waar moet zijn. Dus als er ook maar een tegenstrijdige bewering waar is, dan is elke andere willekeurige bewering, hier gerepresenteerd door Q, ook waar.

Met andere woorden: zodra er ook maar een tegenstrijdige bewering waar is, dan zijn alle beweringen waar. Er bestaan als het ware geen onware beweringen meer. En als op voorhand alles waar is wat er beweerd kan worden, dan wordt de logica een tamelijk zinloze bezigheid. Dat is de reden dat tegenstrijdige beweringen niet zijn toegestaan. Het is de wet van het uitgesloten derde die maakt dat contradicties zo erg zijn.

Lees verder

• Russell's paradox