Propositielogica: waarheidstafels

Logica is een apart onderdeel van de wiskunde. Het kent verschillende vormen, waaronder de propositielogica. Deze vorm van logica is in het begin vrij lastig, maar kan heel simpel en leuk zijn als je het door hebt. De propositielogica bestaat uit letters, connectieven en hulpsymbolen. Aan de hand van waarheidstafels kun je uitrekenen of een formule waar of niet waar is in een bepaalde situatie.

Wat is logica?

In een woord kunnen we logica definiëren als: redeneren. Dit begrip omvat echter niet de complete beschrijving van logica. Een betere omschrijving is: een vakgebied dat zich van oorsprong bezighoudt met principes van en criteria voor correct (of geldig) redeneren. Het woord logica is afgeleid van het Griekse λόγος (logos), dat woord of begrip betekent.

Een logische redenering

Een redenering bestaat uit premissen (uitgangspunten) en een conclusie. Een redenering is logisch geldig als de conclusie van de redenering waar is in alle omstandigheden dat de premissen ook waar zijn. De premissen zijn proposities, dat wil zeggen dat het een bewering is die in een bepaalde gegeven situatie waar of onwaar is.

Waarheidstafels

Het belangrijkste onderdeel van de propositielogica zijn de waarheidstafels. Om deze te kunnen begrijpen moet je eerst de syntaxis (grammatica) kennen. Nadat je de syntaxis begrijpt, kun je de semantiek behandelen met behulp van de waarheidstafels.

Syntaxis

Als eerste is het belangrijk om alle logische connectieven te kennen. Al deze connectieven hebben een officieel symbool. Connectieven zijn eigenlijk voegwoorden die verschillende proposities met elkaar verbinden. Door deze connectieven worden nieuwe proposities gevormd. De propositielogica bestaat uit drie verschillende symbolen:

• Propositieletters (bijvoorbeeld: A, B en C)
• Connectieven (zie tabel)
• Hulpsymbolen: "(" en ")"

*Desda: Dan en slechts dan als

Een aantal regels zijn ook van belang om te weten. Het gaat hierbij om de regels voor formules van de propositielogica.

• Elke propositieletter is een formule
• Als A en B formules zijn, dan zijn: ¬A, (A∧B), (A∨B), (A→B) en (A↔B) ook formules
• Niets anders is een formule van de propositielogica

Voorbeeld: (¬A¬ ∨B) is geen formule
Voorbeeld 2: ¬¬A is wel een formule

Semantiek

De betekenis van de propositielogica kan worden vastgelegd met behulp van de waarheidstafels. Dit is een tabel waarin de formules staan en met behulp van 0 en 1 aangegeven wordt of een formule wel of niet waar is. Hierbij is een 0 "niet waar" en een 1 "waar".

Negatie

De simpelste waarheidstafel, is de tabel van de negatie.
Als A onwaar (0) is, dan is ¬A waar (1). Als A waar (1) is, dan is ¬A onwaar (0).
Een negatie is dus het tegenovergestelde van een propositie. Stel we nemen voor A de propositie "Jan heeft koorts", dan zou ¬A betekenen "Jan heeft geen koorts".

Conjunctie

Het volgende connectief is de conjunctie (∧), wat "en" betekent. In dit geval gebruiken we de propositieletters A en B. In de tabel maak je dan drie kolommen, namelijk een kolom A, kolom B en een kolom A∧B.
We hebben twee propositieletters, A en B, en een formule (A∧B). Als A en B beide waar zijn, dan klopt de conjunctie en is de formule A∧B dus ook waar. Een conjunctie is alleen waar als beide propositieletters waar zijn. Als één van beide waar is, of alle onwaar, dan is de formule (A∧B) dus onwaar.

Disjunctie

Disjunctie (∨) betekent "of", dat wil zeggen dat één van beide of beiden proposities waar moet(en) zijn.
Als beide proposities onwaar zijn, dan is de formule (A∨B) dus ook onwaar. Dit komt omdat de disjunctie zegt dat één van beide waar moet zijn (A of B) of beiden moeten waar zijn (A en B).

Implicatie

De implicatie (→) betekent "Als...dan". Deze is wat moeilijker te begrijpen.
Als A waar is en B is ook waar, dan klopt de formule (A→B) en deze is dan dus ook waar. Als A waar is en B is niet waar, dan is de formule dus niet waar. Voor de formule geldt namelijk: Als A waar is dan moet B ook waar zijn (of beiden niet waar). Voor de derde regel geldt dat de formule wel waar is als A niet waar en B waar is, omdat er niks over B gezegd is.

Dubbele implicatie

Als laatste is er de dubbele implicatie (↔). Logici gebruiken hier de afkorting of term "desda" voor, wat niets minder dan "dan en slechts dan als" betekent.
De formule betekent: A dan en slechts dan als B. Om het simpeler te maken, kunnen we zeggen dat de formule alleen waar is als de samenstellende delen beiden gelijke waardes hebben. In dit geval zijn dat dus A en B. In de tabel kun je zien dat de formule waar is als A en B beiden 0 of 1 zijn. In alle andere gevallen is de formule niet waar.

Verder met de propositielogica

Als je al deze waarheidstafels kent, dan kun je ook omgaan met moeilijkere formules en de bijbehorende tabellen. Een voorbeeld hiervan is de formule: ((A∨B)∧¬A). De bijbehorende tabel moet je dan maken door de formule op te delen in losse stukken.
De formule bestaat namelijk uit twee propositieletters en twee kleinere formules. De propositieletters zijn A en B en de kleinere formules zijn (A∨B) en ¬A. Met behulp van een uitgebreide waarheidstafel, die bestaat uit de kolommen A, B, (A∨B), ¬A en ((A∨B)∧¬A), kun je uitzoeken wanneer de formule ((A∨B)∧¬A) waar of niet waar is.