Propositielogica: waarheidstafels
Logica is een apart onderdeel van de wiskunde. Het kent verschillende vormen, waaronder de propositielogica. Deze vorm van logica is in het begin vrij lastig, maar kan heel simpel en leuk zijn als je het door hebt. De propositielogica bestaat uit letters, connectieven en hulpsymbolen. Aan de hand van waarheidstafels kun je uitrekenen of een formule waar of niet waar is in een bepaalde situatie.Wat is logica?
In een woord kunnen we logica definiëren als: redeneren. Dit begrip omvat echter niet de complete beschrijving van logica. Een betere omschrijving is: een vakgebied dat zich van oorsprong bezighoudt met principes van en criteria voor correct (of geldig) redeneren. Het woord logica is afgeleid van het Griekse λόγος (logos), dat woord of begrip betekent.Een logische redenering
Een redenering bestaat uit premissen (uitgangspunten) en een conclusie. Een redenering is logisch geldig als de conclusie van de redenering waar is in alle omstandigheden dat de premissen ook waar zijn. De premissen zijn proposities, dat wil zeggen dat het een bewering is die in een bepaalde gegeven situatie waar of onwaar is.
Waarheidstafels
Het belangrijkste onderdeel van de propositielogica zijn de waarheidstafels. Om deze te kunnen begrijpen moet je eerst de syntaxis (grammatica) kennen. Nadat je de syntaxis begrijpt, kun je de semantiek behandelen met behulp van de waarheidstafels.Syntaxis
Als eerste is het belangrijk om alle logische connectieven te kennen. Al deze connectieven hebben een officieel symbool. Connectieven zijn eigenlijk voegwoorden die verschillende proposities met elkaar verbinden. Door deze connectieven worden nieuwe proposities gevormd. De propositielogica bestaat uit drie verschillende symbolen:
| Connectief | Symbool | Betekenis |
|---|---|---|
| Negatie | ¬ | Niet |
| Conjunctie | ∧ | En |
| Disjunctie | ∨ | Of |
| Implicatie | → | Als...dan |
| Dubbele implicatie | ↔ | Desda* |
Een aantal regels zijn ook van belang om te weten. Het gaat hierbij om de regels voor formules van de propositielogica.
Voorbeeld 2: ¬¬A is wel een formule
Semantiek
De betekenis van de propositielogica kan worden vastgelegd met behulp van de waarheidstafels. Dit is een tabel waarin de formules staan en met behulp van 0 en 1 aangegeven wordt of een formule wel of niet waar is. Hierbij is een 0 "niet waar" en een 1 "waar".Negatie
De simpelste waarheidstafel, is de tabel van de negatie.
| A | ¬A |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
Een negatie is dus het tegenovergestelde van een propositie. Stel we nemen voor A de propositie "Jan heeft koorts", dan zou ¬A betekenen "Jan heeft geen koorts".
Conjunctie
Het volgende connectief is de conjunctie (∧), wat "en" betekent. In dit geval gebruiken we de propositieletters A en B. In de tabel maak je dan drie kolommen, namelijk een kolom A, kolom B en een kolom A∧B.
| A | B | (A∧B) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Disjunctie
Disjunctie (∨) betekent "of", dat wil zeggen dat één van beide of beiden proposities waar moet(en) zijn.
| A | B | (A∨B) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Implicatie
De implicatie (→) betekent "Als...dan". Deze is wat moeilijker te begrijpen.
| A | B | (A→B) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Dubbele implicatie
Als laatste is er de dubbele implicatie (↔). Logici gebruiken hier de afkorting of term "desda" voor, wat niets minder dan "dan en slechts dan als" betekent.
| A | B | (A↔B) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Verder met de propositielogica
Als je al deze waarheidstafels kent, dan kun je ook omgaan met moeilijkere formules en de bijbehorende tabellen. Een voorbeeld hiervan is de formule: ((A∨B)∧¬A). De bijbehorende tabel moet je dan maken door de formule op te delen in losse stukken.De formule bestaat namelijk uit twee propositieletters en twee kleinere formules. De propositieletters zijn A en B en de kleinere formules zijn (A∨B) en ¬A. Met behulp van een uitgebreide waarheidstafel, die bestaat uit de kolommen A, B, (A∨B), ¬A en ((A∨B)∧¬A), kun je uitzoeken wanneer de formule ((A∨B)∧¬A) waar of niet waar is.
