Rekenkundige problemen met het getal 0

Het getal 0 heeft in de wiskunde gezorgd voor veel verheldering. We zijn nu bijvoorbeeld in staat het verschil te zien tussen 12, 102 en 1002. Toen er nog geen cijfer voor nul was, werd er gewoon een plek leeg gelaten. De getallen uit het voorbeeld hiervoor zouden dan dus 12, 1 2, 1 2 zijn. Je ziet meteen dat dit een groot verschil is. Maar behalve verheldering heeft het cijfer en getal 0 ook voor nieuwe rekenkundige problemen gezorgd. Is 0 nou positief of negatief? Wat krijg je als je deelt door 0? En wat is 0!?

Positief of negatief

De vraag of het getal 0 positief of negatief is, heeft verschillende antwoorden. Wanneer je kijkt naar een getallenlijn, dan zie je dat het getal 0 precies in het midden tussen -1 en 1 staat. Maar ook exact tussen -2 en 2. Het is op die manier niet duidelijk of 0 positief of negatief is. Daarom is er in de wiskunde een afspraak gemaakt. Nul is noch positief noch negatief.

Delen door 0

Een andere rekenkundige bewerking die een probleem geeft, is delen door 0. Wanneer we een getal delen door een ander getal krijgen we een breuk. Deze breuk is soms te herleiden tot een geheel getal. Heel simpel gezegd komt delen neer op het verdelen van een groep in kleinere groepen. Zo kun je 10 / 2 zien als een groep van 10 appels die je moet verdelen in groepjes van 2 appels. Op deze manier kan je 5 groepjes maken. Echter wanneer we proberen te delen door 0 hebben we een probleem. Immers, 10 / 0 zou dan neerkomen op het verdelen van 10 appels in groepjes van 0 appels. Op deze manier zal het je nooit lukken alle appels te verdelen. Daarom is afgesproken dat delen door 0 niet is toegestaan.

0!

De faculteit van een natuurlijk getal is te geven met de formule: n! = 1 x 2 x 3 x … x n. Hieruit volgt dus dat 3! 6 is en dat geldt 2! = 2 en 1! = 1. Maar welke waarde geeft 0! dan?

De waarde van 0! Is 1. Dit is op verschillende manieren te beredeneren. Allereerst kunnen we deze waarde berekenen door een patroon af te werken. Hierbij beginnen we bij 6!.

• 6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720
• 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 6! / 6 = 120
• 4! = 5! / 5 = 24
• 3! = 4! / 4 = 6
• 2! = 3! / 3 = 2
• 1! = 2! / 2 = 1
• 0! = 1! / 1 = 1

Op deze manier kunnen we dus afleiden dat 0! gelijk staat aan 1.

Een andere manier waarop we kunnen aantonen dat 0! 1 is, is door gebruik te maken van permutaties. n! is namelijk het aantal mogelijkheden waarop een n aantal voorwerpen naast elkaar kan worden gelegd. Zoals we hebben gezien is 3! 6. Er zijn dus 6 manieren om 3 voorwerpen naast elkaar te leggen. Dit is simpel te illustreren door gebruik te maken van drie voorwerpen, a, b en c.

De mogelijke combinaties zijn dus:

• a – b – c;
• a – c – b;
• b – a – c;
• b – c – a;
• c – a – b;
• c – b – a.

Hieruit volgt dat 2 voorwerpen op 2! = 2 manieren kunnen worden neergelegd. Met de letters a en b is dit weer te geven:

• a – b;
• b – a;

Dan volgt ook dat 1 voorwerp op 1! = 1 manier kan worden neergelegd. Dat is logisch, namelijk:

• a.

Dan krijgen we nu de onvermijdelijke vraag. Op hoeveel manieren kunnen we 0 voorwerpen neerleggen, dus wat is de waarde van 0!? Dat kan maar op 1 manier, namelijk:

• .

Ook langs deze weg hebben we gezien dat 0! 1 is.

Al met al kunnen we dus stellen dat voor rekenkundige problemen die te maken hebben met het getal 0 een oplossing is bedacht. Wanneer deze oplossing niet is gevonden, is er simpelweg afgesproken dat de bewerking waardoor het probleem met 0 ontstaat, niet is toegestaan.

Lees verder

• Oorsprong van het getal 0