Paradox van Hempel en het probleem van de inductie

De paradox van Hempel speelt een belangrijke rol in de wetenschapsfilosofie. Het brengt als weinig andere paradoxen de vraag naar voren wat het precies betekent om een algemene bewering of een wetenschappelijke theorie te bewijzen. De paradox wordt uitgelegd en geïllustreerd aan de hand van een fictief voorbeeld uit de psychologie.

Formulering van de paradox

In de wetenschap moeten beweringen bewezen worden. De paradox van Hempel maakt duidelijk dat het bewijzen van een empirische bewering, een bewering dus die feitelijk waar moet zijn, nog niet zo eenvoudig is. Logica en empirie zijn twee partners die soms op een merkwaardige manier samenwerken.

Een bewering kan de volgende algemene logische vorm hebben:

• Alle R zijn Z

Hempel zelf gebruikt als voorbeeld de bewering dat alle raven zwart zijn. De R staat dan voor Raaf en Z voor zwart. Deze zo simpele bewering leidt tot een paradox die dan ook wel de zwarte raven paradox wordt genoemd.

Een voor de hand liggende manier om deze bewering empirisch te toetsen is door naar raven te kijken en te noteren of ze zwart zijn of een andere kleur hebben. Elke keer dat een zwarte raaf gevonden wordt, is dat een bewijs voor de bewering. Zodra er een raaf gevonden wordt die niet zwart is, dan zijn de gevolgen ernstigers. De bewering wordt in een klap onwaar.

De paradox ontstaat nu wanneer de bovenstaande bewering vervangen wordt door een andere bewering die er logisch gezien equivalent mee is.

• Alles dat niet Z is, is geen R

Deze tweede vorm wordt ook wel het contrapositief van de eerste genoemd. Beide beweringen zijn logisch gelijkwaardig, de een volgt uit de ander en de ander volgt uit de een. Als de een waar of onwaar is dan is de ander dat ook.

De logica mag dan leren dat beide beweringen equivalent zijn, in termen van empirische bewijsvoering is er iets vreemds aan de hand. Het contrapositief impliceert dat een object (ding of dier) dat niet zwart is en ook geen raaf is mag gelden als bewijs voor de stelling dat alle raven zwart zijn. Dus elke rode auto, elke groene kikker, elke gele ster en elk blank kind is een bewijs voor de bewering dat raven zwart zijn. Pas als het niet-zwarte object een raaf blijkt te zijn, dan is de bewering onwaar.

Het lijkt er dus op dat een wetenschapper die wil bewijzen dat raven zwart zijn net zo goed kan kijken naar alle dingen die niet zwart zijn. Elke keer dat een niet-zwart object geen raaf is, heeft hij een bewijs geleverd voor de stelling dat elke raaf zwart is.

Voorbeeld uit de psychologie

Een voorbeeld uit de psychologie maakt duidelijk dat de paradox van Hempel tot merkwaardige conclusies leidt over hoe een theorie getoetst mag worden.

Stel dat een psycholoog de theorie heeft dat alle genieën (geoperationaliseerd als mensen met een IQ boven de 150) lijden aan het syndroom van Asperger. De bewering is dus:

• Alle geniale mensen zijn mensen met Asperger

Normaal gesproken moet deze psycholoog zijn bewering staven door een willekeurige steekproef te nemen van mensen met een IQ boven de 150 en deze vervolgens testen op Asperger. Blijkt iedereen in de steekproef Asperger te hebben, dan is dat een tamelijk hard bewijs voor de theorie.

Het experiment is niet zo eenvoudig uit te voeren omdat de statistiek een vrij grote en willekeurige steekproef verlangt. Met name de eis van willekeurigheid zorgt voor problemen. Het heeft geen pas om alleen de besten uit de universitaire wereld te nemen omdat dan, bijvoorbeeld, de geniale barkeeper gemist wordt. Genialiteit is nu eenmaal geen garantie voor maatschappelijk succes en zal dus in elke mogelijke bevolkingsgroep gezocht moeten worden. Zie hier in een notendop de complexiteit van goed psychologisch onderzoek.

Maar volgens de logica is er een gemakkelijke uitweg uit deze misere. De theorie mag namelijk als volgt geherformuleerd worden:

• Alle mensen die geen Aperger hebben, zijn mensen met een IQ lager dan 150

Om deze tweede formulering te bewijzen, kan weer gewerkt worden met een steekproef, dit keer van mensen die geen Asperger hebben. Als er in die steekproef geen mensen met een IQ hoger dan 150 zitten, dan is dat dus een bewijs voor de theorie.

Maar hier gaat uiteraard iets mis. Het tweede experiment zal veel sneller tot een bewijs voor de theorie leiden dan het eerste. De reden is eenvoudig. De kans dat er in een willekeurige steekproef van mensen die geen Asperger hebben iemand zit met een IQ boven de 150 is heel klein. Van dat soort mensen zijn er nu eenmaal niet zoveel. Het wordt plotseling wel heel erg gemakkelijk om de bewering dat alle geniale mensen Asperger hebben te staven. De eerste bewering is veel moeilijker hard te maken dan de tweede en toch zou er volgens de logica geen verschil mogen zijn. Een paradox derhalve.

Problemen met inductie

De methode van toetsen die hierboven is blootgelegd, wordt wel inductie genoemd. Op basis van een aantal waarnemingen wordt geprobeerd om een algemene bewering te bewijzen. Het is eigenlijk volstrekt duidelijk dat een algemene bewering maar hoogstzelden op deze manier bewezen kan worden. Pas wanneer alle raven bekeken zijn en ze allemaal zwart zijn pas dan is de bewering waar. Ook al is de verzameling van alle raven eindig, zelfs dan is een volledig bewijs praktisch gezien vaak onmogelijk. Neem de raven. Het is weliswaar een eindige verzameling maar veel raven zijn al overleden zonder dat iemand ze ooit bekeken heeft.

In het proces van inductie, zo stelt men, verhoogt elke waarneming de kans dat een bewering waar is. Dat dit tot hopeloze problemen leidt wanneer het aantal te beschouwing objecten heel groot of zelfs oneindig is, moge duidelijk zijn. Dit is ook de achtergrond van het principe van falsificatie van de wetenschapsfilosoof Karl Popper. Een bewering kan nooit bewezen worden op basis van inductie, zo stelt hij. Het enige dat mogelijk is, is het bewijzen dat een stelling onwaar is. Vind een witte raaf en de stelling dat alle raven zwart zijn is onwaar. Omdat volledige inductie, in het algemeen, niet mogelijk is, kan van maar heel weinig beweringen gezegd worden dat ze waar zijn. Alleen de onwaarheid van een bewering kan met zekerheid vastgesteld worden.

Dit idee van falsificatie werkt ook met het contrapositief. Wanneer men een niet-zwart object vindt dat toch een raaf is, is de bewering onwaar. Omdat een wetenschapper moet zoeken naar onware beweringen, is het verstandiger om te beginnen met het zoeken naar witte raven dan naar niet-zwarte objecten omdat de eerste verzameling aanzienlijk kleiner is dan de tweede en dus de kans op falsificatie groter is.

Slotwoord

Niet iedereen is bereid om inductie even gemakkelijk aan de kant te zetten als Karl Popper. Intuïtief is het idee dat een waarneming een theorie tot op zekere hoogte kan confirmeren natuurlijk zeer aantrekkelijk. Als er duizend raven bekeken zijn die allemaal zwart waren dan lijkt dat toch een beter bewijs voor de bewering te zijn dan wanneer er slechts tien zwarte raven gevonden zijn. Er is dan ook door tal van filosofen gezocht naar een manier om te kunnen spreken van een confirmatiegraad van een bewering.

Maar zodra men dit idee probeert te formaliseren en de confirmatiegraad kwantitatief wil maken, rijzen er grote problemen. Met veel inventiviteit is men dit probleem te lijf gegaan. Voor een overzicht ervan verwijs ik naar de literatuur. Bij veel, zo niet alle, van de voorgestelde oplossingen speelt de paradox van Hempel een belangrijke rol. Het belang van de paradox is dat het het probleem van de inductie, dus van de confirmatie van beweringen, op zo’n pregnante manier naar voren heeft gebracht.