InfoNu.nl > Wetenschap > Wiskunde > Wiskunde de afgeleide en differentiëren

Wiskunde de afgeleide en differentiëren

Wiskunde de afgeleide en differentiëren De afgeleide van een functie f(x) geeft ons informatie over hoe snel de functie stijgt of daalt in een zeker punt (x,y). Het geeft de waarde van de richtingcoëfficiënt van de raaklijn in (x,y) aan. Het bepalen van de afgeleide is een essentieel onderdeel van de wiskunde. Afgeleides worden toegepast in natuurkunde, elektrotechniek, statistiek, en economie. Uitleg en enkele voorbeelden van afgeleide's van bekende veelgebruikte functie's.

De afgeleide

-fig 1- / Bron: Tronic-fig 1- / Bron: Tronic
Het bepalen van de afgeleide van een zekere functie wordt differentiëren genoemd. Differentiëren is een van de belangrijkste wiskundige operatie's die in de wetenschap worden gebruikt. Het is ongeveer gelijktijdig uitgevonden door Newton en Leibniz in de 17-de eeuw.

De afgeleide functie geeft informatie over de steilheid van de raaklijn aan de functie in een bepaald punt,
hoe snel stijgt de grafiek in punt P(x, y)? (zie figuur 1)

De raaklijn door punt P maakt een hoek met de x-as. Voor het bepalen van deze hoek moeten we de toename in de y-richting delen op de toename in de x-richting: Δy / Δx.

-fig 2-<BR>
------------------------------------------------------------------<BR>
Newton : Δx < elk getal dat je kunt bedenken<BR>
 / Bron: Tronic-fig 2-
------------------------------------------------------------------
Newton : Δx < elk getal dat je kunt bedenken
/ Bron: Tronic
Zie figuur 2 (of linksboven), we rekenen vanaf punt x: de toename in de x-richting, Δx, zorgt voor de toename in de y-richting:

  • Δy = f(x+Δx) - f(x)

..., we kunnen nu Δx als een oneindig klein stukje toename voorstellen, ...
  • door de limiet te nemen van Δx-->0
  • zo ontstaat de afgeleide f '(x) = lim Δx-->0 (Δy / Δx)

De afgeleide van de functie f(x) wordt ook wel aangeduid als
  • f '(x)
  • df(x)/dx
  • d/dx [f(x)]

Een bekende afgeleide in de natuurkunde is snelheid. De plaatsfunctie kan geschreven worden als functie van de tijd t: x(t), differentiëren naar de tijd t levert de snelheid v(t):
> v(t) = x'(t) = dx(t)/dt.
De versnelling is op zijn beurt weer de afgeleide van de snelheid: a(t) = dv(t)/dt. Een andere bekende afgeleide is elektrische stroom: i(t) = dQ/dt , de elektrische stroom is de hoeveelheid lading die per seconde passeert.

Bekende afgeleide's

Voor het bepalen van de afgeleide functie's f'(x) gelden een aantal rekenregels die we kunnen toepassen op bijna elke f(x).

Daarnaast zijn de afgeleide's van de meest voorkomende functie's bekend.
(het dakje ^ betekent tot de macht, a is een constante).

f (x)f '(x)niet gedefinieerd voor
a0
axa
1/x-1/x²(x=0)
x^aa x^(a-1)
ln(x)1/x(x=0)
loga x 1/(ln(a) x)(x=0)
sin(x)cos(x)
cos(x)-sin(x)
tan(x)1/cos²(x)(x=1/2π, 3/2π)
e^xe^x
a^xln(a) a^x

Rekenregels

Voor het differentiëren van samengestelde functie's gelden de volgende rekenregels:

lineariteit
  • [ a f(x) ] ' = a f '(x)
  • [ af(x) + bg(x) ] ' = af '(x) + bg'(x)
productregel
  • [ f(x) g(x) ] ' = f '(x) g(x) + g'(x) f(x)
quotiëntregel
  • [ f(x)/g(x) ] ' = (f '(x)g(x) - g'(x) f(x)) / g²(x)....[nat-tan/n ²= (noemer afgeleide teller - teller afgeleide noemer)/noemer²)
kettingregel
  • [ f (g(x)) ] ' = f '(g(x)) g'(x)



Snelheid van een schaatser

afgeleide afschatten

-fig 3-<BR>
klik voor vergroting / Bron: Tronic-fig 3-
klik voor vergroting / Bron: Tronic
Een schaatser legt de 10 km af in 15 minuten, dit is afgebeeld in figuur 3. In het begin schaatst hij harder dan aan het eind van de rit, na 9 minuten heeft hij ongeveer 8 km afgelegd.
De snelheid van de schaatser is bij (t = 9) is te bepalen door de raaklijn te tekenen die de afstandsgrafiek precies in 1 punt raakt. Daarna nemen we de hellingshoek van deze raaklijn:

  • Δs/Δt |(t = 9) = (10 km - 8 km)/(13 minuten - 9 minuten) = 2/4 (km/minuut) = 1/2 (km/minuut) = 30 (km/uur)

We kunnen deze methode op verschillende tijdstippen herhalen; we krijgen dan de snelheidsgrafiek. De grafiek van de snelheid is in het rood getekend. De schaatser ging van start met ongeveer (50 km/uur), na ongeveer 6 minuten begon zijn snelheid te dalen, en hij eindigde met een snelheid van ongeveer (20 km/uur).

afgeleide berekenen

- fig 4- / Bron: Tronic- fig 4- / Bron: Tronic
Stel dat de plaatsgrafiek er zo uit zou zien: f(t) = 2,5√t. Voor t = 6 minuten tot 15 minuten komt deze functie aardig overeen met bovenstaande grafiek. De afgeleide functie f '(t) stelt de snelheidsgrafiek voor.

  • f '(t) = [ 2,5√t ] ' = [ 2,5 t ^1/2 ] ' = 1/2 * 2,5 t ^-1/2 = 1,25/√t

De snelheid van de schaatser bij (t = 9) is dan v = f '(9) = 1,25/√9 = 0,42 km/minuut = 25 km/uur.
© 2009 - 2017 Tronic, het auteursrecht van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Wiskunde - de afgeleide en extreme waardesWiskunde - de afgeleide en extreme waardesHoe bereken je de extreme waardes, ook wel minimum en maximum, en hoe stel je een raaklijn op? Vaak wordt dit gezien als…
Uitleg productregelUitleg productregelDe productregel is een regel voor het differentiëren van een formule waarin twee termen worden vermenigvuldigd. Met deze…
Wat zijn logaritmen?Dit artikel gaat over verschillende soorten logaritmen; veel gebruikte functies uit de wiskunde. Verder worden ook de re…
Wiskunde functieonderzoekWiskunde functieonderzoekFunctieonderzoek is een onderdeel van wiskunde dat beheerst moet worden in de bovenbouw. In dit artikel bekijken we acht…
Wiskunde functies introductieWiskunde functies introductieFuncties en grafieken vormen een hoofdbestanddeel van de wiskunde. Wat zijn functie's en hoe worden ze gebruikt? Een fun…
Bronnen en referenties
  • Inleidingsfoto: Tronic
  • Wiskundelessen (1984?), Baudartius college, LA Reichard (auteur Getal en Ruimte)
  • Afbeelding bron 1: Tronic
  • Afbeelding bron 2: Tronic
  • Afbeelding bron 3: Tronic
  • Afbeelding bron 4: Tronic

Reageer op het artikel "Wiskunde de afgeleide en differentiëren"

Plaats een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Reactie

Henk Schuulten, 26-03-2017 22:58 #1
Geachte heer,
Graag wilde ik iets leren over differentieren en integreren. Ik vond een stukje uitleg in uw artikel en ben benieuwd of er eeenvoudige en duidelijke lectuur is over deze onderwerpen.
Uw artikel gaf mij al wel enig inzicht en mijn dank hiervoor. Mijn stelling is, je bent nooit te oud om te leren en dat pas ik met mijn 81 jr. ook toe.
Met vriendelijke groet,
Henk Schulten Reactie infoteur, 27-03-2017
Beste mijnheer Schulten,
Dank voor uw reactie, ik raad u de reeks boeken "Getal en Ruimte" aan, studieboeken voor scholieren, u moet dan even uitzoeken in welk deel het onderwerp differentieren behandeld wordt.
Met vriendelijke groet,
Tronic

Infoteur: Tronic
Laatste update: 16-04-2017
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Bronnen en referenties: 6
Reacties: 1
Schrijf mee!