Wiskunde - de afgeleide en extreme waardes

Hoe bereken je de extreme waardes, ook wel minimum en maximum, en hoe stel je een raaklijn op? Vaak wordt dit gezien als een lastig onderdeel van de wiskunde. Gelukkig zijn er trucjes waardoor rekenen met afgeleide en extreme waarden wat makkelijker wordt. Met veel oefenen zijn sommen waarin afgeleides en extreme waarden voorkomen geen enkel probleem meer!

De afgeleide

Hoe moet je de afgeleide van een functie bepalen? Dit is handig om te weten voordat je bijvoorbeeld de extreme waardes van een functie uit gaat rekenen. De afgeleide zul je ook in andere vakken dan de wiskunde tegenkomen. Economie bijvoorbeeld, maakt ook gebruik van de afgeleide. Het is eigenlijk een simpel trucje wat je uit je hoofd kunt doen. De afgeleide wordt ook weleens genoteerd als [functie]'
Als voorbeeld nemen we de functie 2X².

• Je wilt de afgeleide bepalen van 2X²
• Je doet dan de macht van X maal het getal wat voor de X staat. In dit geval is dat het getal 2.
• Je doet dus 2 * 2 = 4
• Vervolgens haal je van de macht van X 1 af
• 2 - 1 = 1
• De afgeleide van 2X² is dus 4X¹, oftewel 4X.

De afgeleide van een getal is altijd niks. Dit valt dan dus weg. Dus als er had gestaan bereken de afgeleide van 2X² + 3, dan was de afgeleide gewoon 4X gebleven. Nog een voorbeeldje bij een iets grotere functie, namelijk 2X⁴ + X + 3:

• Je wilt de afgeleide bepalen van 2X⁴ + X +3
• 2 * 4 = 8
• 4 - 1 = 3 dus [2X⁴]' = 8X³
• 1 * 1 = 1
• 1 - 1 = 0 dus [X]' = 1 * X⁰ = 1
• 3 valt weg, want dat is een getal, dus de afgeleide is 8X³ + 1

Extreme waardes berekenen

De extreme waardes zijn eigenlijk de maximale, en minimale toppen in een grafiek. Om gemakkelijk deze waardes te bepalen doorloop je deze stappen:

• Schets eerst de grafiek met behulp van een grafische rekenmachine.
• Bereken de afgeleide van de formule waar je de extreme waardes van wilt berekenen.
• Als je dat hebt gedaan stel je de afgeleide gelijk aan 0. Je krijgt dan dus f(x) = 0.
• De x die je daaruit krijgt noem je p, dan vul je in f(p) = y.
• Je weet nu de x en de y. Dit zijn de coördinaten van het minimum of het maximum. Het kan zijn dat er meerdere x en y waardes uitkomen, dan zijn er ook meerdere toppen.
• Kijk nu in de grafiek of je de coördinaten van een maximum of een minimum hebt. Als het een maximum is dan is het de hoogste top van de grafiek, en als het een minimum is dan is het het laagste dal van de grafiek.
• Als laatste moet je nog de coördinaten invullen. Als het een maximum is krijg je maxf(x) = y en bij een minimum minf(x) = y. Dit is je antwoord.

Raaklijn opstellen

Wat moet je doen als je de raaklijn van een punt in een grafiek wilt opstellen? Doorloop deze stappen:

• Bereken eerst de afgeleide van de functie.
• Vervolgens vul je in de afgeleide de x waarde in. Als er staat dat dat punt op de y-as ligt, dan is dit getal 0. Je krijgt nu f '(x-coördinaat) = a, a is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn die je op gaat stellen.
• Vul nu x, y en a in in de raaklijn formule om b te bereken. De formule is y = ax + b.
• Nu heb je de formule van de raaklijn gevonden.

Voor welke waarde van p...

Het kan ook zo zijn dat er iets gevraagd wordt over een getal p. Dit getal kan elk getal zijn, er had ook getal r, of getal a kunnen staan. Dat maakt niks uit. Maar stel dat je al de extreme waardes hebt berekend, en dit wordt er gevraagd: "Voor welke waarde van p heeft de vergelijking f (x) = p precies twee oplossingen?" Dit lijkt erg moeilijk maar dit valt erg mee. Het enige wat je dan eigenlijk hoeft te doen is de grafiek op je grafische rekenmachine te plotten, en dan in de grafiek kijken.

Lees verder

• Wiskunde - logaritmen, het getal e, ln