InfoNu.nl > Wetenschap > Wiskunde > Kwadratuur van de Cirkel

Kwadratuur van de Cirkel

Kwadratuur van de Cirkel Het was een onopgelost geometrisch probleem voor de oude Grieken en dat zou het nog heel lang blijven: hoe construeer je een vierkant dat hetzelfde oppervlak heeft als een gegeven cirkel? Dat wiskundigen geen oplossing konden vinden voor dit probleem bleek in de negentiende eeuw niet zo vreemd; het is namelijk helemaal niet mogelijk om dat vierkant te construeren. Dit heeft te maken met een getal dat van groot belang is voor de eigenschappen van een cirkel: het getal pi. Het probleem van de kwadratuur van de cirkel heeft tijdens zijn gehele geschiedenis veel aantrekkingskracht gehad. Het probleem is simpel te stellen: gegeven een cirkel, construeer het vierkant dat hetzelfde oppervlak heeft als de cirkel met alleen liniaal en passer. De oplossing van het probleem bleek echter veel ingewikkelder.

Het probleem bestond al ver voor onze jaartelling bij o.a. de Egyptenaren. Het was echter bij de oude Griekse wiskundigen dat het probleem zijn definitieve vorm kreeg en de eerste serieuze pogingen werden gedaan om een oplossing te vinden.

Het getal π

Het getal π (3.1415....) komt in veel gebieden van de wiskunde terug, maar de klassieke definitie is dat π de verhouding is tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter. De Griekse wiskundige Archimedes bewees dat dit getal tevens van belang is voor het oppervlak van een cirkel. Daarvoor geldt namelijk A = π r^2, waar A het oppervlak is en r de straal van de cirkel. Voor een vierkant is het oppervlak natuurlijk het kwadraat van de lengte van de zijden, dus willen we voor een cirkel met straal r het bijbehorende vierkant construeren, dan moet dat een vierkant worden met zijden van lengte r √π. Dat laatste blijkt problematisch.

Al snel kregen wiskundigen door dat π niet zomaar een getal is. Archimedes wist de waarde van π te benaderen: hij bewees dat de waarde moest liggen tussen 223/71 en 22/7 door een cirkel te benaderen met regelmatige veelhoeken. Eeuwenlang maakten wiskundigen betere benaderingen, maar een exacte waarde bleef buiten hun greep. Hoe verder ze gingen in hun berekeningen, hoe meer decimalen π kreeg en er leek geen einde aan te komen en daarmee bleef ook een constructie voor de kwadratuur van de cirkel uit.

De onmogelijkheid van de kwadratuur

Grote wiskundigen van Archimedes tot Descartes bogen zich over het probleem, zonder een oplossing te kunnen vinden. Het kwadrateren van de cirkel werd zelfs een uitdrukking die betekende dat men het onmogelijke aan het proberen was. Het zou uiteindelijk 2000 jaar duren voordat er uitsluitsel over het probleem was.

In de jaren 60 van de achttiende eeuw wist Johann Heinrich Lambert te bewijzen dat π een speciaal soort getal was, namelijk een zogenaamd irrationeel getal. Irrationele getallen zijn getallen die niet kunnen worden geschreven als breuk. Dit heeft tot gevolg dat deze getallen oneindig veel decimalen hebben en dat die decimalen ook geen patroon vertonen. Veel wiskundigen kregen hierdoor al het idee dat de kwadratuur van de cirkel inderdaad een onoplosbaar probleem is en verloren hun interesse ervoor. Het bewees echter in principe nog niet dat het construeren van het juiste vierkant onmogelijk was.

Het duurde nog eens honderd jaar, maar in 1882 kwam dan uiteindelijk het definitieve antwoord. De Duitse wiskundige Ferdinand Lindemann wist te bewijzen dat π niet alleen irrationeel is, maar zelfs transcendent. Transcendente getallen vormen een subset van de irrationele getallen, volgens een nog beperktere definitie. Een van de eigenschappen van transcendente getallen is dat ze niet kunnen worden voorgesteld met een constructie met passer en liniaal. Het feit dat π transcendent is, betekent dus dat het vierkant dat men zocht helemaal niet geconstrueerd kan worden!

De kwadratuur als populaire puzzel

Hoewel voor professionele wiskundigen met het resultaat van Lindemann was vastgesteld dat de kwadratuur van de cirkel een onmogelijke opgave was, bleef het probleem toch tot de verbeelding spreken van veel amateurwiskundigen. De vergevorderde wiskunde van de negentiende eeuw die nodig was voor het bewijs van Lindemann was voor die liefhebbers nauwelijks te begrijpen. Zij zochten dan ook door naar een oplossing en een enkeling ging fel de discussie aan met professionele wiskundigen. Ze wisten echter geen sluitend wiskundig bewijs te vinden dat er wel een oplossing was, of dat de wiskundigen ergens een fout hadden gemaakt. Zo bleef de kwadratuur van de cirkel nog voortleven als een enigszins mystiek probleem onder amateurs. Het sprak erg tot de verbeelding en was voor de amateurwiskundige zoiets als het idee van lood in goud veranderen voor de alchemist. Toch bestaat er over het algemeen geen twijfel over: een vierkant construeren met hetzelfde oppervlak als een gegeven cirkel, dat is onmogelijk!
© 2012 - 2017 Mato, het auteursrecht van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Pi, getallen tot in het oneindigePi, getallen tot in het oneindigeHet getal Pi, oneindig gebruikt in de wiskunde, met oneindig veel decimalen achter de komma. Wat is ‘het geheim’ achter…
Uitvinders & ArchimedesUitvinders & ArchimedesArchimedes is bij velen vooral bekend van de uitroep Eureka. U weet wel, in bad gedaan. Maar hij deed veel meer. Elke da…
Cheats: Grand Theft Auto: Liberty City Stories (PSP)Grand Theft Auto: Liberty City Stories is een game voor de Playstation Portable en is geschikt voor 18 jaar en ouder. He…
Cheats: Grand Theft Auto: Vice city stories (PSP)Grand Theft Auto: Vice City Stories voor de PSP is een game die geschikt is voor 18 jaar en ouder. Het is de tweede game…
Grand Theft Auto V: CheatsGrand Theft Auto V: CheatsHet is dan eindelijk zo ver: GTA! Alle liefhebbers kunnen weer verdergaan met het stelen van auto's, beroven, vliegen, g…
Bronnen en referenties
  • Inleidingsfoto: Alexei Kouprianov / Wikimedia Commons
  • Equations from God, Daniel J. Cohen, The John Hopkins University Press, Baltimore (2007)
  • The Geometry of the Circle and Mathematics, James Smith, Simpkin, Marshall & Co., Londen (1869)
  • http://en.wikipedia.org/wiki/Pi [5 mei 2012]

Reageer op het artikel "Kwadratuur van de Cirkel"

Plaats een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Reacties

Fernand Neerman, 21-02-2016 13:38 #4
Graag een reactie want ik ben geen profeet, ik vraag een discussie om uiteindelijk te weten te komen of ik gelijk krijg of niet en wanneer niet, dat ik tenslotte te weten kom waar ik fout zit. Wanneer niemand zou reageren geeft men mij gelijk, dat wil zeggen dat inderdaad de wiskunde en de wetenschap kleine foutjes in het verleden hebben meegesleurd tot op vandaag, die kleine onnauwkeurigheden hebben diepe wonden geslagen en zijn niet meer te herstellen.

Fernand Neerman, 21-01-2016 11:05 #3
Nu, bijna 4 jaar later, blijkt na verder onderzoek dat de verwarring rond de kwadratuur van de cirkel nooit zo groot is geweest, er zijn namelijk twee belangrijke factoren die destijds onnauwkeurig zijn aangebracht. Wanneer er een vraagstuk bestaat in de wiskunde (en wat voor een) dan zou er een oplossing moeten volgen. Door de verbanning van de kwadratuur door von Lindemann 1882 pleit hij "onoplosbaar", pi is een benadering, dus niet exact. Wanneer op de schets van da Vinci, (de mens van Vitruvius) da Vinci als cirkel, de navelcirkel tekende had men nog geen begrip van de armcirkel die bepalend zou zijn voor de totale geometrie van de mens en de oplossing van het hele vraagstuk kon bieden, ook was de driehoek op da Vinci's schets nog niet aanwezig, doch deze driehoek zal bewijzen onontbeerlijk te zijn voor het bewijs van de oplossing van de kwadratuur van de cirkel.

Hugo, 24-05-2014 10:55 #2
Het empirische bewijs is. Deel de omtrek v/d cirkel door de diameter/ O/D = pi.
Is de omtrek 100, dan is de doormeter 32 dus, is pi 3,125 exact.
Is de omtrek 100 deel deze dan door 4 dan heb je C(constante) 1/4 omtrek of 25
De oppervlakte is dan. C*D of 25*32 = 800… ² "pi 3,14 geeft 804,247719319 enz?"
Voor de geometrie zie: http://context-binder.eu daar zie dan dat de kwadratuur wel mogelijk met de gestelde restricties.

Fernand Neerman, 19-06-2012 09:58 #1
Von Lindemann heeft het over onmogelijkheid omdat men het getal Pi moet gebruiken maar wie zegt dat men het getal Pi nodig heeft? Wanneer ik kan bewijzen dat een vierkant een cirkel is (met dezelfde omtrek) dan werk ik met het vierkant i.p.v. de cirkel en dat is ook kwadratuur. Een vierkant is de kleinste cirkel (met dezelfde omtrek) en een cirkel is het grootste vierkant (met dezelfde omtrek) het verschil in oppervlakte is dat de cirkel (met dezelfde omtrek) 1/'4de groter is dan de oppervlakte van het vierkant (met dezelfde omtrek) dus, een vierkant van 40cm. omtrek is hetzelfde als een cirkel van 40cm. omtrek.alleen is de oppervlakte van de cirkel 1/4de groter.

Infoteur: Mato
Gepubliceerd: 06-05-2012
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Bronnen en referenties: 4
Reacties: 4
Schrijf mee!