De tweede wet van Newton: dynamica

In het vorige artikel is de eerste wet van Newton (de statica) aan de orde geweest. Hier worden de tweede wet, ofwel de dynamica, en de derde wet (actie is reactie) besproken. De dynamica beschrijft het gedrag van bewegende lichamen onder de invloed van krachten.

Het oplossen van een dynamisch probleem

Net als bij de statica (zie de eerste wet van Newton), bestaat de aanpak in de dynamica uit het oplossen van evenwichtsvergelijkingen. Opnieuw betreffen deze de som van de krachten in de x-richting en y-richting en de som van de momenten. In tegenstelling tot de eerste wet van Newton, is minstens één van deze oplossingen niet gelijk aan nul. Een resultante kracht leidt ertoe dat een lichaam in beweging komt. Dit gebeurt met een bepaalde versnelling (a). De kracht die benodigd is om een bepaalde versnelling te veroorzaken, is evenredig met de massa van het lichaam. Immers, het kost veel meer kracht om een auto te duwen dan bijvoorbeeld een winkelwagen (massatraagheid).

De dynamische evenwichtsvergelijkingen zijn als volgt:

  • Σ F(x) = m*a(x)
  • Σ F(y) = m*a(y)
  • Σ M = F*d

Of, in het geval van een cirkelvormige beweging van een massa om een rotatieas:

  • Σ F(t) = m*a(t)
  • Σ F(n) = m*a(n)
  • Σ M = I*α

De krachten worden hier uitgedrukt volgens een normaal-tangentieel coördinatenstelsel. De tangentiële richting betreft die van de cirkelomtrek, terwijl de normale versnelling steeds naar het middelpunt van de cirkel gericht is. De volgende formules zijn van toepassing:

  • a(t) = α*r
  • a(n) = v²/r

waarbij α staat voor de hoekversnelling (in rad/s²), v voor de snelheid in tangentiële richting en r voor de afstand tussen het massazwaartepunt en het draaipunt. De I in de formule voor het moment staat voor de massatraagheid. Hiervoor geldt het volgende:

I = m*r²

Lastig rekenwerk is soms te vermijden door het massazwaartepunt te nemen als rotatiepunt voor de momenten; op deze manier worden de traagheidskrachten omzeild en is eenvoudig te volstaan met het product kracht*krachtarm.

Voorbeeld
Als voorbeeld van een dynamisch probleem volgt hier de analyse van de krachten die betrokken zijn bij het maken van een sprong. De volgende gegevens zijn bekend:

  • De persoon van 80 kg springt omhoog met een versnelling van 2 m/s².
  • De massa van de onderbenen (inclusief voeten) is 9 kg. Het zwaartepunt ligt 0,15 m rechts van het aangrijpingspunt van de grondreactiekracht (zie actie en reactie). Tussen het zwaartepunt en het aangrijpingspunt van de snedegrootheden zit tevens 0,15 m.
  • Er wordt aangenomen dat er geen hoekversnelling is.

De evenwichtsvergelijkingen die moeten worden opgelost, zijn:
  1. Σ F(x) = m*a(x)
  2. Σ F(y) = m*a(y)
  3. Σ M = I*α
Uitwerking van de evenwichtsvergelijkingen (gehele lichaam):
  1. Er is maar één kracht die in de x-richting werkt: de wrijvingskracht F(w). Aangezien er geen versnelling in x-richting is, is F(w) gelijk aan nul.
  2. Het product m*a(y) bedraagt 80kg * 2 m/s² = 160 N. Dit is gelijk aan de som van de zwaartekracht op het lichaam, F(z), en de grondreactie kracht, F(n). F(z) is 80 kg * -10 m/s² = -800 N, wat betekent dat F(n) gelijk is aan 960 N. Per been is dat dus 480 N.
  3. Uitgaande van het zwaartepunt als rotatie-as, is F(w) de enige kracht met een krachtarm groter dan nul. Maar aangezien deze kracht gelijk is aan nul, geldt dit ook voor het bijbehorende moment.

Uitwerking van de evenwichtsvergelijking (onderbeen):
  1. Ook hier geldt dezelfde F(w) met waarde nul, wat betekent dat de horizontale component van de snedegrootheden, F(kx), eveneens 0 N is.
  2. Het product m*a(y) is nu gelijk aan de som van de zwaartekracht op het onderbeen, F(b), de grondreactiekracht, F(n) en de verticale component van de snedegrootheden, F(ky). De laatste bedraagt dan ook 960 – 90 (= 9 kg * 10 m/s²) – 18 (= 9 kg * 2 m/s²) = 852 N in negatieve y-richting. Per been is dat 426 N.
  3. Het zwaartepunt als rotatie-as nemend, is de som van de momenten gelijk aan het product kracht*krachtarm van F(n) en F(ky), en M(k). Als er geen draaiing om het zwaartepunt plaatsvindt, is de waarde van M(k): 960 N * 0,15 m + 426 N * 0,15 N = 271,8 Nm (135,9 Nm per been).

Hoewel de statica verbonden is aan een aparte wet, kunnen ook lichamen in rust (of bewegend met constante snelheid) worden geanalyseerd met behulp van de evenwichtsvergelijkingen van de dynamica. Immers, doordat er geen versnelling is worden de termen rechts vervangen door “nul”, wat de evenwichtsvergelijkingen van de eerste wet van Newton oplevert.

Lees verder

© 2009 - 2024 Teez, het auteursrecht van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming is vermenigvuldiging verboden. Per 2021 gaat InfoNu verder als archief, artikelen worden nog maar beperkt geactualiseerd.
Gerelateerde artikelen
Uitvinders: NewtonUitvinders: NewtonSir Isaac Newton behoort tot de grote uitvinders uit onze geschiedenis en tot de geleerden die tot de verbeelding spreke…
De beginselen van NewtonDe beginselen van NewtonDe drie beginselen van Newton behoren tot de belangrijkste verwezelijkingen in de wetenschap en vormen tegelijkertijd de…
Zwaartekracht slechts entropisch verschijnselHoewel we er iedere seconde mee te maken hebben en de grootste wetenschappers zich er over hebben gebogen, weten we nog…
Bereken de gravitatiekracht: de gravitatiewet van NewtonBereken de gravitatiekracht: de gravitatiewet van NewtonIsaac Newton heeft als eerste het verband van de gravitatiekracht beschreven. Hij vond dat twee voorwerpen een kracht op…
Snaartheorie - een korte uitlegDe snaartheorie is beschouwd als de moeilijkste natuurkundige theorie ooit. Hij is opgesteld om twee natuurkundige theor…
De stoommachineMen kan de stoommachine beschouwen als een van de grootste technische bijdragen aan de menselijke vooruitgang. In de twe…
Teez (56 artikelen)
Laatste update: 25-09-2010
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Natuurkunde
Per 2021 gaat InfoNu verder als archief. Het grote aanbod van artikelen blijft beschikbaar maar er worden geen nieuwe artikelen meer gepubliceerd en nog maar beperkt geactualiseerd, daardoor kunnen artikelen op bepaalde punten verouderd zijn. Reacties plaatsen bij artikelen is niet meer mogelijk.