InfoNu.nl > Wetenschap > Wiskunde > De formule van Euler

De formule van Euler

De formule van Euler De formule van Euler is volgens sommigen de mooiste vergelijking ooit. Stel het getal j = √-1, dit getal lijkt niet echt lijkt te bestaan, we kunnen geen getal verzinnen waarvoor geldt j ² = -1. De 'complexe schrijfwijze' met het 'imaginaire' getal j levert allerlei voordelen op. Een voorbeeld van complexe notatie is het getal z = a + jb. We kunnen ook periodieke functie's zoals sin(x) en cos(x) ook als e-macht schrijven, deze tweede schrijfwijze voor een complex getal is: e^(jx) = cos(x) + jsin(x). De Zwitserse wiskundige Euler is de ontdekker van een zeer opmerkelijke formule, ook wel 'de identiteit van Euler' genoemd. De schoonheid van deze vergelijking wordt vaak zo uitgelegd:
  • de twee belangrijkste natuurlijke getallen staan erin: 0 en 1
  • drie rekenkundige operaties staan erin: ^, +, en =
  • de getallen e=2,718..., π=3,141..., en j=√-1 houden verband

-fig 1-<BR>
1 getal: z = (a + jb),<BR>
met 2 coördinaten:<BR>
Re(z) = a, Im (z) = b / Bron: Tronic-fig 1-
1 getal: z = (a + jb),
met 2 coördinaten:
Re(z) = a, Im (z) = b / Bron: Tronic
Stel: een complex getal z = a + jb
2 coördinaten (a, b) voor 1 getal:
  1. Reëel (z) = horizontale coördinaat van het getal z = (getal zonder j) = a
  2. Imaginair (z) = verticale coördinaat van het getal z = (aantal malen j) = b

z = (a + jb) = een punt in een 2-coördinatenstelsel: (Re, Im) as,
een complex getal kan genoteerd worden als: z = (a + jb), of z = (a, b)

stel een lijn L loopt door de oorsprong en het punt z = (a, b),
L heeft lengte 1, en de hoek met de Re-as is x, dan:
  • a = cos(x), b = sin(x)
  • z = cos(x) + jsin(x)

-fig 2-<BR>
f(x) = e^(jx) =<BR>
cos(x) + jsin(x) / Bron: Tronic-fig 2-
f(x) = e^(jx) =
cos(x) + jsin(x) / Bron: Tronic
Een andere schrijfwijze voor z is (zie figuur 2):
  • e^(jx) = cos(x) + jsin(x)
  • f(x) = e^(jx) = cos(x) + jsin(x)

De functie begint voor (x=0) in het punt (re, im) = (1,0) en voor oplopende x draait f(x) rond in het complexe vlak.

Waarden voor x invullen levert een aantal punten:
  • (x = 0) -----→ z = cos(0) + j sin(0) ----------→ (1, 0)
  • (x = 1/2π) → z = cos(1/2π) + j sin(1/2π) -→ (0, 1)
  • (x = π)---- → z = cos(π) + j sin(π) ----------→ (-1, 0)

Om Eulers formule te vinden moeten we (x = π) invullen: levert het punt z = (-1,0), of:
  • e^(jπ) = cos(π) + jsin(π) = -1 ---- e ^ jπ + 1 = 0



-fig 3- / Bron: Tronic-fig 3- / Bron: Tronic

Afleiding e^(jx) = cos(x) + jsin(x)

[I]

De afgeleide van e^x is zichzelf, de afgeleide van e^(kx) is k e^(kx).

Stel we definiëren twee eisen waaraan een functie f(x) moet voldoen:
  • f ' (x) = k f(x)......... [1]
  • f(0) =....................... [2]

Dan kunnen we eenvoudig de oplossing bepalen:
  • f(x) = e^(kx)

Stel we gaan k een waarde geven, namelijk k = j, dan veranderen de eisen in:

  1. f ' (x) = j f(x)
  2. f(0) = 1

De oplossing zal zijn:
  • f(x) = e^(jx)

-fig 4- / Bron: Tronic-fig 4- / Bron: Tronic
[II]

Stel: f(x) = cos(x) + jsin(x),

Voor het getal j geldt:
  • j = √-1 → j² = -1

... dan ...:
  • f ' (x) = -sin(x) + jcos(x) = j ² sin(x) + j cos(x) = j (f(x) [1]

... daarmee voldoet f(x) aan [1], voldoet f(x) ook aan [2]?
  • cos(0) + jsin(0) = 1

Ja, daarom zijn e^(jx) en (cos(x) + jsin(x)) aan elkaar gelijk:

e^(jx) = cos(x) + jsin(x)

Dit bewijs kan worden uitgebreid door ook f '' (x) = - f(x) toe te voegen. Vergelijking [1] wordt dan f '' (x) - f(x) = 0.

Euler en het getal e

Euler introduceerde het getal e in zijn studies naar '100% natuurlijke groei'. In de 17-de eeuw werd het getal 2,7182... al genoemd in publicatie's over logaritmen, maar het werd nog niet beschouwd als standaardgetal met de benaming 'e'. In 1727 was Euler degene die e introduceerde als standaard in de wiskunde.

Euler hield zich bezig met groeifactoren in financiële vraagstukken. Stel we brengen elk jaar euro 1,= naar de bank en de bank keert aan het einde van het jaar 100% interest uit, dan zal dit precies 1 euro rendement opleveren. Na 1 jaar hebben we dan euro 2,= aan vermogen.

We kunnen beargumenteren dat de bank sneller de interest op de investering moet uitbetalen, bijvoorbeeld per maand. In dit geval rekenen we dan aan interest (100% / 12) = 8,33% per maand. Aan het einde van het jaar zou dit een bedrag opleveren van (1,0833) ^ 12 = 2,61 euro.

De uitbetalingstijd nog verder verkleinen (bijvoorbeeld per dag of per uur) is het probleem van '100% continue groei'. Het blijkt dat de verdergaande verkleining aan het einde van het jaar euro 2,71 (=e) oplevert. In vergelijkingen ziet de 100% continue groei er zo uit;
  • d / dx (e^x) = e^x
  • lim x →∞ [(1 + 1/x) ^x] = e
© 2014 - 2018 Tronic, het auteursrecht (tenzij anders vermeld) van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Complexe getallenComplexe getallenIn het dagelijks leven rekenen we met getallen uit de reële verzameling R. Complexe getallen, of getalparen, zijn een ui…
Soorten getallenIn de wiskunde zijn verschillende soort getallen bekend. Deze soorten getallen hebben allen hun eigen eigenschappen. Zo…
Het vermoeden van GoldbachHet vermoeden van GoldbachHet vermoeden van Goldbach is een van de bekendste onopgeloste problemen uit de wiskunde. Het stelt dat "ieder even geta…
Rekenen met procentenRekenen met procentenOp de middelbare school leer je het, maar hoe goed weet je het nog? Ik heb het natuurlijk over procenten. Hoe moest je o…
Project Euler: getallenroostersProject Euler: getallenroostersEr zijn enkele opgaven in Project Euler waarin je een rooster met getallen krijgt voorgeschoteld. Daarin moet je dan iet…
Bronnen en referenties
  • Inleidingsfoto: tronic
  • Eulers formula a cool proof, dr C. Tisdell, youtube
  • Eulerarchive.maa.org, Euler identity
  • Afbeelding bron 1: Tronic
  • Afbeelding bron 2: Tronic
  • Afbeelding bron 3: Tronic
  • Afbeelding bron 4: Tronic

Reageer op het artikel "De formule van Euler"

Plaats als eerste een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Ik ga akkoord met de privacyverklaring en ben bekend met de inhoud hiervan
Infoteur: Tronic
Laatste update: 28-12-2017
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Bronnen en referenties: 7
Schrijf mee!