Het vermoeden van Goldbach

Het vermoeden van Goldbach is een van de bekendste onopgeloste problemen uit de wiskunde. Het stelt dat "ieder even getal groter dan 2, kan geschreven worden als som van twee priemgetallen". Goldbach liet zich uit over zijn vermoeden tijdens een briefwisseling met de wiskundige Leonhard Euler. Hoewel het vermoeden een simpele stelling lijkt, die bovendien voor miljarden getallen is geverifieerd, is er tot op heden geen wiskundig bewijs gevonden voor de stelling.

Priemgetallen

Priemgetallen zijn natuurlijke getallen die alleen deelbaar zijn door 1 en door zichzelf. Vanwege unieke factorisatie van getallen, wordt het getal 1 niet beschouwd als priemgetal. De eerste twintig priemgetallen bijvoorbeeld zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71.

Dat Goldbachs vermoeden waar is voor kleine getallen is nog eenvoudig te zien.

• 12 = 5+ 7
• 14 = 7 + 7
• 16 = 11 + 5
• 18 = 11 + 7
• 20 = 13 + 7

Eulers vermoeden

Oorspronkelijk verwoordde Goldbach zijn vermoeden richting Eulers anders dan hierboven staat. Goldbach schreef dat hij vermoedde dat 'ieder geheel getal groter dan 5 te schrijven is als som van drie priemgetallen'. Euler antwoordde dat hij ook dacht dat dit vermoeden waar moest zijn, maar dat hij er nog geen bewijs voor had. Wel wist hij het vermoeden te herformuleren tot de nu bekendste vorm van het vermoeden van Goldbach.

Voorbeelden van het oorspronkelijke vermoeden:

• 10 = 2 + 3 + 5
• 11 = 3 + 3 + 5
• 12 = 2 + 3 + 7
• 13 = 3 + 3 + 7
• 14 = 7 + 7

Waarom zijn de twee formulering equivalent?

Stel nu dat het oorspronkelijke vermoeden (OV) waar is. Neem nu een even getal G groter dan 2. Uit OV volgt nu dat G + 2 = p1 + p2 + p3; met p1 ≤ p2 ≤ p3 priemgetallen. Deze drie priemgetallen zijn niet alledrie oneven, want dan zou G + 2 oneven zijn, wat in tegenspraak is met onze eerdere aanname. Er zit dus een even priemgetal bij en dus p1=2 (of kent u andere even priemgetallen wellicht?). Halen we aan beide kanten 2 eraf, zien we dat geldt: G = p2 + p3. Dus volgt het vermoeden van Goldbach in de bekende vorm.

Stel nu dat de bekende vorm waar is, hieruit zou dan de OV uit moeten volgen.

Neem E een willekeurig getal groter dan 5, er zijn nu twee opties:

a) E is even, ook E - 2 is even en groter dan 2, dus te schrijven als p1 + p2.
Daaruit volgt E = 2 + p1 + p2

b) E is oneven, E - 3 is dan even en groter dan 2, dus te schrijven als p1 + p2.
Daaruit volgt E = 3 + p1 + p2

Uit beide gevallen volgt dat het oorspronkelijke vermoeden waar is. De beide formuleringen zijn derhalve equivalent.

Met behulp van computers is het vermoeden gecontroleerd voor getallen tot 1.609 * 10^18. Enkele behoorlijk afgezwakte versies van het vermoeden zijn wel bewezen, maar tot op heden is nog niet duidelijk hoe men het sterke vermoeden van Goldbach moet bewijzen. In het verleden zijn geldprijzen uitgeloofd voor een wiskundig bewijs van het vermoeden, dat al sinds 1742 wordt gezocht.