Fractalen: definitie, theorie en voorbeelden

De gelijkvormigheid van figuren hebben sinds het begin der tijden al een soort aantrekkingskracht gehad op de mens. Gelijkvormigheid valt terug te vinden in fractalen. Fractalen zijn heel speciale meetkundige figuren. Wat deze fractalen juist inhouden, is niet echt bekend bij de meeste mensen. Er valt echter zoveel meer te vertellen over deze wiskundige figuren dan enkel de wiskundige bewijzen. Ze bestaan namelijk niet enkel en alleen in de theoretische wiskunde, maar zijn ook overal te vinden in de natuur.

Definitie fractal

Een fractal is een meetkundige figuur met als karakteristieke eigenschap dat onderdelen (details) van de figuur gelijkvormig zijn met de figuur zelf, maar op een kleinere schaal.

Algemene theorie over fractalen

Gelijkvormigheid

Een fractal is een meetkundige figuur, waarvan een detail gelijkvormig met het geheel is. Zo treedt voortdurend een herhaling van patronen op bij het ‘inzoomen’, die door sommigen als zeer mooi wordt ervaren. Bij de ideale fractal komt de gelijkvormigheid steeds weer terug, elke keer als de schaalgrootte wordt verkleind, zeg maar: als wordt ingezoomd. Wanneer het aantal stapjes waarbij dit lukt, beperkt is, spreekt men van een pre-fractal.

Herkomst naam 'fractal'

De naam ‘fractal’ is ontleend aan de wiskundige eigenschap dat de figuur een zogenaamde ‘gebroken dimensie’ heeft. Die dimensie is dan een zuiver wiskundig begrip (het dimensiebegrip van Hausdorff), en geeft het verband weer tussen de grootte van het zich herhalende gelijkvormige ‘puzzelstukje’ en het aantal puzzelstukjes dat nodig is om de totale fractal weer te maken.
Terwijl een fractal een ingewikkelde structuur lijkt te hebben, is een enkele wiskundige vergelijking vaak al voldoende om die structuur helemaal te beschrijven.

Mandelbrot-verzameling

De Mandelbrot-verzameling levert op verschillende schalen een variëteit aan figuren, uitgaande van de vergelijking z = z² + c (met c als constante). Fractals kunnen een rol spelen in de zo kort mogelijke codering van beelden. Vanaf 1982 spande de wiskundige Benoit B. Mandelbrot zich in om de opmerkelijke eigenschappen van fractals in brede kring bekend te maken. In de jaren negentig hebben kunstenaars en amateur-wiskundigen met computers talrijke fractals gegenereerd. Maar juist vanwege de eenvoudige wiskunde achter complexe structuren, zijn fractals ideaal ter beschrijving van ingewikkelde patronen.

In de natuur komen veel structuren voor die lijken op die van fractals. Ook kunnen fractals belangrijk zijn in het ophelderen van de manieren waarop de hersenen dingen herkennen. De hersenen werken hierbij met name op grond van gelijkenissen, wat in de wiskundige structuur van fractals lijkt te zijn ingebouwd.

Verband fractal-Gulden Snede (φ)

Bewijs

Uit deze afbeelding blijkt dat:

1. AC = 1+ f + f ²
2. AB = 2 . (f ² + f ³ + f 4 + …)

• 1 + f + f ² = 2 . (f ² + f ³ + f 4 + …) (AC = AB)
• f ² + f ³ + f 4 + … = f ²/(1 - f) en f ³ + 2f ² - 1 = 0 (formule meetkundige reeks)
• Daar f positief moet zijn, is de conclusie dat f = 1/φ

Verband

Bij sommige fractals is de gelijkvormigheidsfactor gelijk aan 1/φ

Voorbeelden fractalen

Driehoek van Sierpinski

Theorie
Het eerste voorbeeld van een fractal is de driehoek van Sierpinski. Deze fractal werd ontdekt door de Pool Wacław Sierpinski. Hij ontdekte namelijk een oneindige kromme die als voorloper wordt gezien van de fractal. De driehoek van Sierpinski ontstaat door het herhalen van een bepaalde werkmethode (zie opbouw) tot in het oneindige. Door het herhalen van deze werkmethode, wordt er een soort piramide gecreëerd. Een opmerkelijk feit aan deze fractal is dat zijn oppervlakte gelijk is aan 0 m².

Opbouw

1. Teken een gelijkzijdige driehoek.
2. Deel de driehoek op in vier gelijkzijdige driehoeken en laat de middelste weg.
3. Herhaal dit proces.

Tapijt van Sierpinski
Theorie
De Poolse wiskundige Wacław Sierpiński heeft buiten de driehoek van Sierpinski nog een andere fractal beschreven: het tapijt van Sierpinski. Net zoals bij de driehoek van Sierpinski is de oppervlakte van het tapijt van Sierpiński gelijk aan 0 m². Als men het tapijt van Sierpinski in drie dimensies opbouwt, bekomt men een nieuwe fractal. Men noemt deze driedimensionale fractal ook wel de Spons van Menger.

Opbouw

1. Teken een vierkant
2. Deel het vierkant op in negen gelijke vierkanten en laat het middelste vierkant weg.
3. Herhaal dit proces voor elk vierkant.

Boom van Pythagoras
Theorie
Een zeer bekende fractal is de boom van Pythagoras. Deze fractal werd beschreven door de Nederlander Albert Bosman in het jaar 1942. Deze Nederlandse wiskundige vernoemde de ontdekte fractal naar de Grieks wiskundige Pythagoras door de aanwezigheid van zijn typische driehoeksverhoudingen met de bekende hoek van 90°. Zoals reeds vermeld is de fractal geconstrueerd door oneindig veel vierkanten en men verwijst hier soms naar als de bloemkool-vormige fractal.

Opbouw

1. Teken een vierkant
2. Op het vierkant construeren we een rechthoekige driehoek met de schuine zijde (de bovenste zijde van het vierkant). Teken langs de rechthoekszijden nieuwe vierkanten. Dankzij de stelling van Pythagoras weet men dat de opgetelde oppervlaktes van de twee nieuwe, kleine vierkanten gelijk is aan de oppervlakte van het eerste grote vierkant.
3. Herhaal dit proces voor elk vierkant.

Sneeuwvlok van Koch
Theorie
De Zweed Helge von Koch ontdekte in 1904 een kromme die later de kromme van Koch zou gedoopt worden. De kromme is op zichzelf al een fractal, maar ook de basis van een iets bekendere fractal, namelijk: de sneeuwvlok van Koch.

Opbouw

1. Teken een gelijkzijdige driehoek
2. Deel de zijden op in drie gelijke stukken en vervang het middelste door een gelijkzijdige driehoek en laat de basis weg.
3. Herhaal dit proces voor elke zijde.