Een korte geschiedenis van de speltheorie

Een van de -letterlijk- meest waardevolle wiskundige disciplines is de speltheorie. Speltheorie houdt zich bezig met beslissingsstrategieën en interactie tussen spelers waarbij de keuzes van de ene speler het succes van de ander beïnvloeden en kent derhalve veel toepassingen in bijvoorbeeld de markteconomie.

Oorsprong

Hoewel bekende niet-triviale concepten die nu vallen onder speltheorie al te vinden zijn in bijvoorbeeld de Talmud en de Bijbel spreken we over het algemeen van de speltheorie als zelfstandig onderzoeksveld sinds de werken van Von Neumann, Morgenstern en later natuurlijk John Nash. Eerder is al wel speltheoretische analyse te vinden bij Borel en Cournot.

Ontwikkeling

In de negentiende eeuw was men van mening dat de wiskundige benadering van de economie volmaakt was. Het werk van de Franse wiskundige Nicolas Canard van de voorgaande jaren, behelsde alles wat er te onderzoeken was en de wiskundige economie was dan ook `af’, zo zei men. Met deze houding werden dan ook alle nieuwe theorieën en modellen op voorhand al afgewezen. Een van deze beoogde vernieuwingen kwam van de hand van Cournot, na wiens werken lange tijd niet werd gekeken. Cournot was het niet eens met de waarde die men toekende aan het werk van Canard, dat volgens hem foutieve beweringen bevatte. Desalniettemin noemde hij Canard zijn enige voorganger in deze tak van de wiskunde. Cournot begint in zijn bekendste werk ‘Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth’ uit 1838 met de toelichting dat de wiskunde slechts dient als ondersteuning en illustratie van zijn redeneringen en dat zij niet gebruikt wordt voor concrete berekeningen. Hij gebruikt wiskundige concepten om zijn argumenten kracht bij te zetten. Hij definieert relevante zaken en introduceert economische functies om vervolgens in modellen aan te tonen welk soort gedrag het meest rendabel is in bepaalde settings. In zijn boek komt Cournot ook tot heel specifieke Nash-evenwichten.

Bloei

Na werken van Zermelo, Edgeworth, Kalmar en Borel kwam het nieuwe onderzoeksveld echt van de grond naar aanleiding van het werk van John von Neumann, een wiskundige die een duidelijke voorkeur had voor toegepaste wiskunde, getuige ook zijn interesse in simulaties, politiek en explosies. Von Neumann doet een grote bijdrage door de minimax stelling te bewijzen. "As far as I can see, there could be no theory of games … without that theorem … I thought there was nothing worth publishing until the Minimax Theorem was proved". De speltheorie staat dan vol in ontwikkeling en tal van academici dragen bij aan een solide fundering van deze belangrijke onderzoekstak, getuige ook de vele Nobelprijzen (Economie) die zijn uitgereikt aan speltheoretici.

Beautiful Mind

John Nash introduceerde veel speltheoretische concepten waaronder de notie van een Nash-evenwicht. Wanneer de spelers hun strategie zo hebben gekozen dat een eenzijdige aanpassing voor geen van hen een verbetering oplevert dan spreekt men van een Nash-evenwicht. Nash bewees dat elk niet-coöperatief spel, waarbij de spelers een eindig aantal keuzes hebben, zo’n evenwicht toelaat. Als een spel zo’n unieke evenwichtssituatie kent, dan wordt zij bereikt wanneer de spelers en het spel aan bepaalde randvoorwaarden voldoen. Zo zal het evenwicht bijvoorbeeld niet verschijnen wanneer een speler denkt dat een ander niet rationeel kan beslissen. Ook wanneer het spel zo complex is dat de evenwichtssituatie niet bekend is bij de spelers, zal deze vaak uitblijven. Onlangs hebben wiskundigen van de Shawnee Universiteit voor een bepaalde klasse spellen aangetoond dat zij bij twee spelers, maar oneindig veel keuzes ook een Nash-evenwicht kennen. De notie van Nash-evenwichten kan gebruikt worden in de analyse van bijvoorbeeld oorlogsstrategieën of minder ernstige zaken als boter-kaas-en-eieren of zelfs de beste manier om een groep vrouwen te benaderen (film ‘A Beautiful Mind’).

Praktische wiskunde

Speltheorie is bij uitstek het voorbeeld van ‘een’ wiskunde die ontstaan is uit de toepassing. De volwaardige wiskundige theorie is gevormd om de reeds bestaande fenomenen. Waar de wiskunde bij de eerste zetten van bijvoorbeeld Cournot (naar eigen zeggen) slechts een illustrerende rol had of slechts als taal diende, vormde zich later een volwaardig wiskundig raamwerk. De speltheorie bleek een krachtig gereedschap voor de analyse van economische en strategische processen, diezelfde processen die aan de wieg lagen van deze tak van wiskunde. Vervolgens bleek de kracht van de theorie uit de analyse van complexere problemen en de toepassing op hele andere zaken uit bijvoorbeeld de biologie en psychologie. Recentelijk onderzoek van bijvoorbeeld Cristina Bicchieri wijst uit dat mensen onbewust volgens sterke speltheoretische principes handelen. Ook dieren (mooi voorbeeld de hagedis ‘uta stansburiana’) maken gebruik van strategieën die zo uit een speltheorieboek lijken te komen. Een recente uitbreiding die ook wel bekend staat als kwantumspeltheorie voegt informatietheoretische begrippen als superpositie van toestanden toe aan de speltheorie en lijkt nogmaals de waardevolle toepasbaarheid van de speltheorie te tonen, wanneer zij bijvoorbeeld bijdraagt aan de ontwikkeling van kwantumcomputers.

Mix

Speltheorie is een mix van bestaande, nieuwe, pure en toegepaste wiskunde. De speltheorie is ontstaan uit een ‘vraag’, een toepassing, maar heeft zich vervolgens tot een volwaardig theoretisch kader ontwikkeld dat niet slechts toegepast van aard is te noemen. Vervolgens blijken haar principes weer te specificeren en toe te passen op onvoorziene zaken. Speltheorie is ondanks haar verschijningsvorm absoluut geen zwakke vorm van wiskunde. Het behelst ondermeer een geheel nieuwe wiskunde en heeft bovendien de dankbare rol een intermediair te kunnen zijn tussen theorie en toepassing. Speltheorie vertaalt wiskunde naar staatsinrichting, evolutietheorie en winstmaximaliserende strategieën. Natuurlijk blijft er altijd een hiaat tussen theorie en praktijk, maar door de uitgebreide analyse van bijvoorbeeld keuzes op basis van imperfecte informatie, is deze kleiner dan ooit.