Rekenen met rek, spanning en elasticiteitsmodulus van kabels

Als je gaat vissen met een hengel lijkt het net alsof je vislijn uitrekt als je een dikke, zware vis aan je haak hebt. Hetzelfde verschijnsel kun je ook voelen als je met een groot aantal mensen tegelijkertijd een lift instapt. Je krijgt dan de gewaarwording dat de lift een beetje naar beneden zakt door het gewicht van de ingestapte mensen. Dit kun je ook zien doordat de vloer van de lift niet helemaal gelijk loopt met de liftingang. Maar hoe reken je nu uit hoeveel deze vislijn en liftkabels uitrekken?

Rek van een kabel

Om de lengteverandering van kabels/draden met uiteenlopende lengten te kunnen vergelijken maak je gebruik van de lengteverandering (uitrekking) per meter. Dit heet de rek.

De formule luidt:
ԑ = Δl/l₀

Waarbij:

• ԑ = de rek
• Δl = lengteverandering van de kabel in meter
• l₀ = oorspronkelijke lengte van de kabel in meter

Als je naar de formule kijkt, zie je dat er bij de rek geen eenheid is gegeven. Als je waardes voor Δl en l₀ ingeeft krijg je een verhoudingsgetal (ԑ). De rek wordt ook nogal eens in procenten gegeven. Als je de rek in procenten wil aangeven moet je de uitkomst van het verhoudingsgetal (ԑ) met 100% vermenigvuldigen.

Dwarsdoorsnede

Een dikke kabel breekt veel minder vlug dan een dunne kabel die gemaakt is van gelijk materiaal. Dit komt omdat bij een dikkere kabel de krachten over een groter oppervlak worden verdeeld. Deze oppervlakte heet de dwarsdoorsnede. Zie afbeelding 1 voor de straal, diameter en de dwarsdoorsnede.

De oppervlakte van de dwarsdoorsnede bereken je met onderstaande formule:
A = ¼ π d² of A = π r²

Waarbij:

• A = de oppervlakte van de dwarsdoorsnede
• π = het getal 3,14
• d = diameter
• r = straal

Spanning in een kabel

Als je dus de spanning in kabels met een verschillende dikte eerlijk wil vergelijken moet je rekening houden met de dwarsdoorsnede van de kabel.

De spanning in een kabel bereken je met onderstaande formule:
σ = F/A

Waarbij:

• σ = spanning in N/m² (wordt ook wel pascal of Pa genoemd)
• F = kracht in newton (N)
• A = oppervlakte van de dwarsdoorsnede (m²)

Als de dwarsdoorsnede groter is (de kabel is dikker) bij dezelfde kracht is de spanning σ lager.

De trekproef

Als je wil weten hoe sterk je materiaal is kun je een trekproef uitvoeren. Bij een trekproef wordt meestal een staaf in een apparaat ingespannen. Je trekt dan met deze machine met een toenemende kracht aan de uiteinden van die staaf. Op een bepaald moment knapt de staaf. De machine voor de trekproef meet de hele tijd hoeveel kracht er wordt uitgeoefend en hoeveel de staaf al is uitgerekt. Met die metingen kan een spanning-rekdiagram gemaakt worden. Afbeelding 2 bevat een weergave van het spanning-rekdiagram.

Het spanning-rekdiagram

Meestal kun je drie gebieden onderscheiden in het spanning-rekdiagram. Ieder materiaal heeft een ander spanning-rekdiagram. De gebieden waarnaar worden verwezen staan in afbeelding 2.

Gebied 1

In gebied 1 spreek je van elastische vervorming. Als je de trekkracht die je op de staaf uitoefent opheft veert de staaf weer terug en krijgt hij zijn originele lengte. In het diagram zie je dat de rechte lijn begint in de oorsprong. De spanning waarbij de lijn krom gaat lopen heet de evenredigheidsgrens. Dus tot deze spanning is bereikt mag je zeggen dat het verband tussen de spanning en de rek recht evenredig is. In dit gedeelte van de grafiek kun je dus gebruik maken van de formule van de elasticiteitsmodulus. Als de grafiek van een materiaal bij een lage spanning de evenredigheidsgrens al vlug bereikt is dit geen elastisch materiaal. Voorbeelden van elastische materialen zijn metalen. In BINAS-tabellen 8, 9 en 10 kun je de elasticiteitsmodulus van vele materialen opzoeken.

Gebied 2

In gebied 2 treedt er plastische vervorming op. Het materiaal rekt steeds verder uit, terwijl de trekkracht niet noemenswaardig hoger wordt. Als je de trekkracht die je op de staaf uitoefent opheft veert de staaf NIET meer terug en krijgt hij NIET meer zijn originele lengte. Dit noem je het vloeien van het materiaal. De uitgeoefende spanning heet de vloeispanning.

Gebied 3

In gebied 3 wordt de uitgeoefende kracht steeds hoger (en dus ook de spanning). Op een bepaald moment wordt de staaf op een enkele plaats veel dunner dan de rest van de staaf. Deze plaats heet een insnoering. Bij het verder verhogen van de trekkracht zal de staaf vlug breken.

De elasticiteitsmodulus

De formule voor de elasticiteitsmodulus geldt in het elastische gebied (tot aan de evenredigheidsgrens). De formule luidt:
E = σ/ԑ

Waarbij:

• E = elasticiteitsmodulus (N/m² )
• σ = spanning in N/m²
• ԑ = rek (geen eenheid)

Voorbeeldopgaven

1. Hoe kun je uit het spanning-rekdiagram aflezen of een materiaal stijf is? Als een materiaal stijf is betekent dit dat het materiaal niet graag elastisch vervormt. Dit kun je zien in het diagram doordat de lijn in gebied 1 erg steil loopt.
2. Hoe kun je in het spanning-rekdiagram aflezen of een materiaal sterk is? Dit kun je aflezen in gebied 3. Als de spanning hoog is als de insnoering plaatsvindt betekent dit dat het materiaal sterk is.