Geschiedenis van de wiskunde: Babylonische Wiskunde

De Babyloniërs rekenden met eenheden van 60. Ze gebruikten het zestigtallig of sexagesimaal stelsel. Dit lijkt heel ongemakkelijk, maar ook wij gebruiken nog steeds onderdelen van de Babylonische wiskunde. Zo gebruiken we het in de tijdmeting: er gaan er 60 minuten in een uur en 60 seconden in een minuut. Ook wordt het nog gebruikt in de hoekmeting: een cirkel bestaat uit 360 graden, een halve cirkel uit 180 graden. Elke graad is weer onderverdeeld in 60 boogminuten (') en een boogminuut weer in 60 boogseconden (").

Historie

In het gebied waar nu ongeveer Irak ligt zijn in de jaren ’50 van de 19e eeuw kleitabletten gevonden met hierop berekeningen in spijkerschrift. In dit gebied, wat vroeger Mesopotamië heette, floreerde van ongeveer 3000 tot 500 v Chr. de Babylonische wiskunde. De naam “Babylonische” wiskunde is gebaseerd op het feit dat de stad Babylon in die tijd diende als wetenschappelijk centrum. “De Babyloniërs” bestaan dus niet als volk, maar zijn verschillende volken die allen in Mesopotamië gewoond hebben.

De kleitabletten

De Babyloniërs gebruikten kleitabletten om hun berekeningen op te maken. Een groot voordeel van kleitabletten ten opzichte van bijvoorbeeld de papyrusrollen, die de oude Egyptenaren gebruikten, is dat de kleitabletten niet vergaan. De kleitabletten werden gemaakt door in vochtige klei verschillende tekens te krassen. Als de kleitablet klaar was, werd de kleitablet of in een oven gebakken of gedroogd in de zon.

De gevonden kleitabletten bevatten onder andere verschillende wiskundige problemen. Zo zijn er kleitabletten waarop breuken staan, of vierkantsvergelijkingen. Ook zijn er kleitabletten gevonden met hierop een (redelijk goede) benadering van wortel 2. Op de meeste kleitabletten staan de vermenigvuldigingstafels te lezen.

De getallen

Het spijkerschrift, of cuneïforme schrift, werd gemaakt door met een rietstengel in vochtige klei te schrijven. Ook de getallen zijn geschreven in spijkerschrift. De symbolen die gebruikt worden voor het aanduiden van getallen zijn de zogenaamde ‘spijkers’ en ‘winkelhaken’.

De ‘spijker’ staat voor 1 of voor een macht van 60. Dit is dus niet eenduidig. De betekenis wordt bepaald door de positie van de ‘spijker ’ ten opzichte van de andere ‘spijkers’ en ‘winkelhaken’. Als de ‘spijker ’ op de eerste plaats staat, betekent het 1 of 60. Op de tweede plaats betekent het 1/60 of 60 kwadraat. Enzovoorts. De ‘winkelhaak’ staat voor de tientallen.

Wat opvalt aan de hiernaast staande tabel is dat de telling niet verder gaat dan 59. Voor ons zou, logisch gezien, het cijfer 60 worden voorgesteld door 6 ‘winkelhaken’. Omdat de Babyloniërs gekozen hebben voor een zestigtallig stelsel wordt de 60 voorgesteld als een ‘spijker’. Dit klinkt onlogisch, om hetzelfde teken voor zowel 1 als 60 te gebruiken, maar ook ons (tientallig)stelsel maakt hier gebruik van. Een ‘1’ kan al naar gelang de plaats in het cijfer een ‘1’ een ‘10’ een ‘100’ of een andere macht van 10 zijn.
Als we onze cijfers willen schrijven in Babylonisch spijkerschrift, dan moeten we onze cijfers herrekenen in het zestigtallig stelsel. We doen dat door te kijken hoe vaak een getal past in een zestigtal. Dit worden dan het aantal ‘spijkers’. Het overblijvende getal wordt dan weer met ‘winkelhaken’ en ‘spijkers’ geschreven zoals in de bovenstaande tabel.

Een voorbeeld:

• Schrijf het getal 136 in spijkerschrift
• Er gaat 2 x 60 = 120 in 136. Dit betekent dat er begonnen moet worden met 2 ‘spijkers’
• Er blijft dan nog over van het getal: 136 – 120 = 16
• Schrijf 16 als een ‘winkelhaak’ en 6 ‘spijkers’

Dus: spijker spijker winkelhaak spijker spijker spijker spijker spijker spijker

Om dit getal nu voor ons makkelijker te maken kunnen we dit getal opschrijven als de cijfers van een digitale klok: de uren voor de eerste ‘spijkers’, de minuten als ‘winkelhaken’ en ’spijkers’. Het getal 136 is dan te schrijven als 2:16 Nu valt meteen de analogie op met de klok: 136 secondes zijn 2 minuten en 16 secondes.

Het ontbreken van het getal nul

De Babyloniërs kenden het getal nul niet. Dit heeft meer consequenties dan alleen het ontbreken van het getal voor de 1, het 'niets' of 'geen'.

Zoals hierboven uitgelegd is de positie van de cijfers bepalend wat het getal is. Elke positie van de ‘spijkers’ bepaalt of de ‘spijker’ staat voor 60 tot de macht 0, 60 tot de macht 1, 60 tot de macht 2 enz. Wanneer een macht van 60 niet voorkwam in het getal, dan werd hier geen symbool voor gebruikt, maar werd deze ruimte leeg gelaten. De grootte van de ruimte was echter niet bepaald. Er was dan ook niet te bepalen of :

• Spijker <ruimte> spijker 60²+ 1 of 60³+ 1 is

In ons getallenstelsel zou bijvoorbeeld 2005 zonder nullen geschreven worden als 2 <ruimte> 5. Dit kan dan geïnterpreteerd worden als 205, 2005, .., 20000005 of nog groter.

Meestal blijkt uit de context wat het getal voorstelt, maar het is ook zonder fantasie te begrijpen dat het ontbreken van een ‘nul’ problemen kon geven bij de berekeningen.

Optellen en aftrekken

De Babyloniërs konden redelijk makkelijk optellen en aftrekken. Doordat ze een talligstelsel, een positiestelsel, gebruikten was het redelijk eenvoudig om op te tellen en af te trekken door de juiste tallen onder elkaar te zetten.

Vermenigvuldigen

Het vermenigvuldigen had wat meer voeten in de aarde. In het tientallig stelsel, zoals wij dat nu gebruiken, moeten de tafels tot en met 9 bekend zijn om te kunnen vermenigvuldigen. Wij hoeven hierdoor (slechts) 90 producten te kennen. Doordat ze echter gebruik maakten van een zestigtallig stelsel moesten alle tafels tot en met 59 bekend zijn om verder te rekenen. Zij hadden per tafel 23 producten nodig: van 1 tot en met 20, 30, 40 en 50. In totaal dus 59 × 23 = 1357 producten.

Er zijn ook kleitabletten met hierop de kwadraten van 1 tot en met 59 gevonden. De Babyloniers hadden een hele bijzondere manier van vermenigvuldigen. Door het hebben van een tabel met alle kwadraten, zijn eigenlijk de vermenigvuldigingstafels overbodig.

De Babyloniërs vermenigvuldigden op de volgende manier. Wanneer twee getallen moeten worden vermenigvuldigd, bepaal dan het kwadraat van de twee getallen en het kwadraat van de som van deze twee getallen. Trek de twee kleinste kwadraten af van de grootste kwadraat en halveer deze uitkomst. De uitkomst hiervan is nu het product van de twee getallen.
Wiskundig geschreven: a × b = ( (a+b)² - a² - b² ) / 2

Een voorbeeld:

• Bereken 17 × 35
• Tel de getallen bij elkaar op 17 + 35 = 52
• Het kwadraat van 52 is 2704
• Het kwadraat van 17 is 289
• Het kwadraat van 35 is 1225

• Trek nu (289 + 1225 =) 1514 af van 2704 = 1190
• De helft van 1190 = 595

Delen

De Babyloniers deelden op een andere manier dan wij gewend zijn. Zij bepalen eerst de uitkomst van 1/ noemer. Hiervoor hadden zij een tabel:

• 1/2 = 0:30
• 1/3 = 0:20
• 1/4 = 0:15
• 1/5 = 0:12
• 1/6 = 0:10
• 1/8 = 0:7:30
• 1/9 = 0:6:40
• 1/10 = 0:06

Daarna wordt deze uitkomst vermenigvuldigd met de teller.

Een voorbeeld:

• Bereken 27/3
• 1/3 = 0:20
• 27 × 0:20 = 0:540 = 9

Lees verder

• Geschiedenis van de wiskunde: Oude Egyptische Wiskunde
• Geschiedenis van de wiskunde: Klassieke Arabische Wiskunde