Worteltrekken: vierkantswortel van getal handmatig berekenen

Het berekenen van de wortel van een getal kan soms eenvoudig zijn, door de kwadraten erin te herkennen. Dit wordt anders indien er sprake is van een lang getal of een getal met enkele decimalen achter de komma. In dat geval kan men zonder een rekenmachine het antwoord niet snel achterhalen. Op welke manier kun je relatief snel de vierkantswortel handmatig berekenen en welke methode van rekenen moet je bij worteltrekken toepassen?

Vierkantswortel handmatig berekenen

• Kwadraten herkennen en berekenen
• Achterhalen van kwadraten
• Worteltrekken voor de komma
• Verdere oplossing na de komma

Kwadraten herkennen en berekenen

Iedereen weet dat 2*2=4 of 5*5=25. Trekt men de wortel van getallen, dan kan men achterhalen of er zekere kwadraten in zitten. Denk het getal 1296. Trekt men daar de vierkantswortel van, dan kan men het opsplitsen in √1296 = √(16*81) = √16*√81 = 4*9 = 36. Het herkennen van kwadraten in getallen is dan ook de meest rechtstreekse manier om de oplossing te vinden. Maar hoe moet je het oplossen als er sprake is van een lang getal of een getal met zoveel decimalen achter de komma?

Achterhalen van kwadraten

Indien het antwoord van een worteltrekking wordt opgesplitst in 2 cijfers dan geldt het volgende:

• a^2*100 + [(2*a)b]*b = a^2*100 + (20*a+b)*b = c;
• ab = de samenstelling van 2 cijfers, zodat een getal is opgemaakt;
• a = het eerste cijfer van de uitkomst bij worteltrekken;
• b = het tweede cijfer van de uitkomst bij worteltrekken;
• c = het kwadraat;
• [(2*a)b] = de samenstelling van de twee cijfers als 1 cijfer. Als a = 1 en b = 2 dan geldt [(2*a)b] = [(2*1)2] = 22.

Voorbeeld kwadraten herleiden

Stel we nemen het kwadraat van 25 dan geldt a = 2, b = 5 en [(2*a)b] = [(2*2)5] = 45 oftewel 2^2*100 + 45*5 = 400 + 225 = 625. Bij het handmatig worteltrekken wordt dit principe exact omgedraaid.

• √625 = √c;
• a = 2 als hoogste kwadraat binnen het cijfer 6 (2^2 = 4);
• 625-400 = 225 = [(2*a)b]*b = [(2*2)b]*b = [(4)b]*b = (20*2+5)*5 = 45*5;
• ab = 25 = √625.

Worteltrekken voor de komma

Stel je wilt van het getal 1826,54 de wortel berekenen, hoe doe je dat dan? Het is van belang om telkens de grootste kwadratische factor van de eerste getallen te vinden. In dit geval gaat het om 1 of 18 of 182 (opm.1). De maximale kwadratische factor is 9*9 = 81, oftewel het gaat in dit geval om het getal 18. In dit getal is de maximale kwadratische factor 4*4=16. Het houdt in dat 4 het eerste antwoord is van de oplossing. Vermenigvuldig dit antwoord dan met 2 (4*2=8). Houd er vervolgens rekening mee dat er nog een getal achter de 8 komt te staan. Het houdt de volgende relatie in: 8b*b = c. Het gaat dus om 81*1=81, 82*2=164, 83*3=249 enzovoorts met een maximum van 89*9=801. We hebben 18-16=2 als eerste antwoord. Nu moet de relatie 8b*b minder zijn dan 2 met de volgende getallen van 1826,54 zijnde 26,54. Oftewel het gaat om 226 of 2265. Omdat 8b*b niet verder dan 801 gaat, gaat het om het getal 226. In principe zal men altijd de volgende 2 getallen toevoegen, danwel 2 maal een 0. Daarbij is 82*2=164 de hoogste oplosser en dus blijft er 226-164=62 over. Oftewel het tweede getal van het antwoord is 2, waardoor we het getal 42 voor de komma hebben achterhaald.

Verdere oplossing na de komma

De gevonden oplossing moet wederom met 2 worden vermenigvuldigd oftewel 42*2=84. Ook hierbij geldt wederom dat er een getal achter komt te staan oftewel 84b*b=c. Het gaat dus om 841*1=841, 842*2=1684, enzovoorts met een maximum van 849*9=7641. We hebben 62 nog over als antwoord en dus moeten we de volgende 2 getallen erbij trekken, zodat we 6254 krijgen. Omdat 8*8=64>59 zal het moeten worden berekend met 847*7=5929. Het houdt in dat er nog 6254-5929=325 overblijft. Het antwoord is tot het eerste getal achter de komma berekend zijnde 42,7. Wil men nog verder achter de komma rekenen, dan moeten er nullen achter het resterende getal worden geplaatst. Het getal 427 vermenigvuldigd met 2 geeft 427*2=854 als antwoord. Oftewel er geldt 854b*b=c met 8541*1=8541, 8542*2=17084 enzovoorts met een maximum van 8549*9=76941. Omdat 3250 met 1 extra 0 kleiner is dan 8541 is het noodzakelijk om er 2 nullen achter te plaatsen. Oftewel het gaat om 32500. Daarbij geldt dat 8543*3=25629<32500, waarbij we 6881 als restant overhouden. Het houdt in dat we het tweede getal achter de komma hebben achterhaald, zijnde 42,73. De volgende slag is: 4273*2=8546 -> 8546b*b=c -> 85468*8=684744<688100 en het getal tot drie cijfers achter de komma is dan 42,738.

Past men voorgaande principe bij het worteltrekken consequent toe, dan kan men van ieder getal handmatig het antwoord vinden. Let wel als men voor de komma 5-6 cijfers heeft, dan is het antwoord voor de komma 3 cijfers lang en bij 7-8 geldt 4 cijfers.

Opm.1: Let wel is het getal 3, 5, 7 cijfers voor de komma lang oftewel alle getallen met een oneven aantal cijfers, dan moet de eerste maximale kwadratische factor over alleen het eerste getal worden genomen. Bij getallen met een even aantal cijfers moet het over de eerste twee cijfers worden genomen.