Rekenen met de lineaire en kubieke uitzettingscoëfficiënt

Als je warmte aan een metalen (of anderssoortige) staaf toevoert dan kan deze langer worden of anders gezegd: de lengte van de staaf neemt toe. Als je een kortere staaf neemt, is de lengtetoename kleiner dan bij een langere staaf. Als de temperatuurstijging klein is dan is de toename van de lengte ook kleiner. Als je de lengtetoename van verschillende staven bij verschillende temperatuurveranderingen wil vergelijken is het handig om de lengteverandering per meter te vergelijken. Maar wat is nu eigenlijk het verband tussen lengtetoename van een verwarmde staaf en het temperatuurverschil?

Formule voor de lineaire uitzettingscoëfficiënt

In de formule wordt het verband gegeven tussen de lengtetoename en de temperatuurverandering
Δl/l₀ = α ΔT

Waarbij:

• Δl = lengtetoename van de staaf in m (meter)
• l ₀ = oorspronkelijke lengte van de staaf in m (meter)
• α = lineaire uitzettingscoëfficiënt van de stof in K^-1
• ΔT = temperatuurstijging van de staaf in K (Kelvin)

Indien je te maken hebt met een verlaging van de temperatuur zal de lengte van de staaf afnemen (krimpen). In BINAS (tabel 8: metalen, 9: alliages, 10: andere vaste stoffen) vind je de waardes van de lineaire uitzettingscoëfficiënt van vele stoffen.

Rekenvoorbeeld lineaire uitzettingscoëfficiënt

Je verwarmt een koperen staaf met een lengte van 50 centimeter. Eerst was de temperatuur 20 graden Celsius (293 Kelvin) en uiteindelijk is de temperatuur 75 graden Celsius (348 Kelvin). Wat is nu de lengtetoename van de staaf in meter (m) veroorzaakt door de toevoer van warmte?

Δl/l₀ = α ΔT

Breng de l₀ naar de rechterkant (kruiselings vermenigvuldigen).
Je krijgt dan de formule:
Δl = α ΔT l₀

Waarbij:

• Δl = lengtetoename van de staaf in m (meter): deze gaan we berekenen
• l₀ = oorspronkelijke lengte van de staaf in m (meter): 50 centimeter: 0,5 m
• α = lineaire uitzettingscoëfficiënt van de stof in K^-1. In tabel 8 BINAS opgezocht: voor koper is dit 16,8 10^-6 K^-1
• ΔT = temperatuurstijging van de staaf in K (Kelvin): 75-20 = 55 graden in graad Celsius of 348-293 = 55 Kelvin. Rekenen met Kelvin heeft de voorkeur omdat de formule ook gebruik maakt van Kelvin. Dit om verwarring te voorkomen.

Invullen van de formule geeft

Δl = α ΔT l₀= 16,8 10^-6K^-1x 55 K x 0,5 m = 462 10^-6 m= 4,62 10^-4 m

1 millimeter is 1/1000 meter of anders geschreven 10^-3. De staaf is 4,62 10^-4 m langer geworden. Dit is bijna een halve millimeter.

Formule voor de kubieke uitzettingscoëfficiënt

Indien je een stof verwarmt zet deze uit. Als je een stof afkoelt krimpt deze. Bij een temperatuurtoename krijg je te maken met een vergroting van het volume. Dit komt doordat een stof die verwarmd wordt in de lengte, de breedte en de hoogte uitzet. Dus je moet rekening houden met 3 dimensies. Het volume van een stof wordt groter bij verwarming. De formule die het verband aangeeft tussen de volumetoename en temperatuurverhoging is:
ΔV/V₀ = γ ΔT

Waarbij:

• ΔV= volumetoename van de stof/het voorwerp in m³
• V₀= oorspronkelijk volume van de stof/het voorwerp in m³
• γ = kubieke uitzettingscoëfficiënt van de stof in K^-1
• ΔT = temperatuurstijging van de stof in K (Kelvin)

Indien je te maken hebt met een verlaging van de temperatuur zal het volume van de stof/het voorwerp afnemen.
 

Berekening van kubieke uitzettingscoëfficiënt uit de lineaire uitzettingscoëfficiënt

Tip: van vaste stoffen is alleen de waarde van de de lineaire uitzettingscoëfficiënt in BINAS gegeven. De kubieke uitzettingscoëfficiënt van een vaste stof kun je namelijk berekenen met γ = 3 α. Indien je eenmaal in tabel 8, 9 of 10 van BINAS de waarde van de lineaire uitzettingscoëfficiënt hebt gevonden kun je de kubieke uitzettingscoëfficiënt berekenen.

Rekenvoorbeeld met de kubieke uitzettingscoëfficiënt

Een blok koper met de afmetingen 10 cm bij 10 cm bij 10 cm en een lineaire uitzettingscoëfficiënt van 16,8 10^-6 K^-1 wordt verwarmd van 20 graden Celcius naar 80 graden Celcius. Hoe groot is de volumeverandering?

ΔV/V₀ = γ ΔT

Stap 1: schrijf de afmetingen om naar meter: 10 cm is 0,1 m. Volume is lengte maal breedte maal hoogte: 0,1 m x 0,1 m x 0,1 m = 0,001 m³. Dit is de V₀.
Stap 2: bereken het temperatuurverschil: 80-20 = 60 graden. Omdat je hier met temperatuurverschil rekent mag je bij ΔT 60 invullen.
Stap 3: schrijf de formule om: breng V₀ naar de andere kant (kruiselings vermenigvuldigen)
ΔV/V₀ = γ ΔT wordt dan:
ΔV= γ ΔT V₀

Waarbij:

• ΔV= gaan we berekenen
• γ = 3 α = 3 x 16,8 10^-6 K^-1= 50,4 10^-6 K^-1.
• ΔT= 60
• V₀ = 0,001 m³ = 1 dm³

Stap 4: formule invullen

De volumeverandering is:
γ ΔT V₀ = 50,4 10^-6K^-1 x 60 x V₀ = 3,024 10^-3 V₀
V₀ = 0,001 m³ = 1 dm³: ΔV= 3,024 10^-6 m³
Om deze uitkomst enigzins tastbaar te maken rekenen we uit hoeveel het volume van de uitkomst in kubieke centimeter is.

Omrekenen kubieke meter in kubieke centimeter

ΔV= 3,024 10^-6 m³ =

ΔV= 3,024 10^-3 dm³

ΔV= 3,024 cm³

• Als je het volume in m³ wil omrekenen naar dm³ dan moet je x 1000 doen.
• Als je het volume in dm³ wil omrekenen naar cm³ moet je nogmaals vermenigvuldigen met 1000.

De volumeverandering door het opwarmen van een koperen blok met de afmetingen 10 cm (1 dm) bij 10 centimeter bij 10 centimeter door een temperatuurverhoging van 60 graden is dus 3 cm³. Dit volume kun je vergelijken met 3 blokjes die alledrie 1 centimeter bij 1 centimeter bij 1 centimeter zijn.