De richtingscoëfficiënt

Een belangrijk wiskundig basisprincipe, dat een grote rol speelt bij het werken met functies en grafieken, is de richtingscoëfficiënt. Dit is een eigenschap van een rechte lijn, weergegeven door een getal. Deze coëfficiënt is een maat voor de steilheid van de lijn. Met behulp van de rico kan uit de grafiek van een lijn op simpele wijze de formule worden afgeleid, en vice versa.
De richtingscoëfficiënt, ook wel afgekort tot rico of rc, is een getal behorend bij een rechte lijn (of lijnstuk) in een twee-dimensionaal assenstelsel. De rico is een maat voor de steilheid van de lijn.

Rico in de grafiek

De eenvoudigste manier om het concept van de rico te begrijpen, is door een rechte lijn in een x,y-assenstelsel te bekijken. Laten we voor het gemak eerst uitgaan van een stijgende lijn, dus een rechte die ‘van linksonder naar rechtsboven’ loopt.

Als de lijn in een raster is getekend (bijvoorbeeld op ruitjespapier), waarbij elk hokje 1 breed is, dan is de richtingscoëfficiënt het aantal hokjes dat de lijn omhoog gaat, als hij er 1 naar rechts gaat. Iets wiskundiger geformuleerd: je kijkt dus naar hoeveel de y-waarde toeneemt, als de x-waarde met 1 toeneemt. Dit getal is de rico.

In de grafiek is dit te zien: wanneer de lijn één hokje naar rechts gaat (als de x-waarde met 1 toeneemt), gaat hij twee vakjes omhoog (neemt de y-waarde met 2 toe). De richtingscoëfficiënt is dus 2.

Als we met een dalende lijn te maken hebben, is de procedure bijna hetzelfde. We kijken nog steeds wat er gebeurt als de lijn één hokje naar rechts gaat (als de x-waarde met 1 toeneemt), alleen tellen we nu het aantal hokjes dat de lijn daarbij omlaag gaat (hoeveel de y-waarde afneemt). Voor dit getal zetten we nu een minteken om de rico te krijgen. In de tweede grafiek zien we dat, wanneer we de x-waarde met 1 verhogen, de y-waarde met 2 afneemt. Vanwege de afname krijgt de rico een minteken, we vinden dus -2.

Een stijgende lijn heeft dus een positieve richtingscoëfficiënt, een dalende lijn een negatieve.

Voor de richtingscoëfficiënt wordt soms de notatie dy/dx of Δy/Δx gebruikt. Hierbij betekent dy of Δy de toename in de y-richting, in onze voorbeelden hierboven was dat eerst 2 en daarna -2 (het minteken staat er omdat er in het tweede geval een afname was). Om de rico te krijgen worden deze getallen gedeeld door dx of Δx, dit is de toename in de x-richting. Bij ons was dat steeds 1, zodat we die deling niet meer hoefden uit te voeren (delen door 1 geeft hetzelfde getal terug).

De rico kan zo op een algemenere manier gevonden worden, want de x-toename hoeft geen 1 te zijn. In ons eerste voorbeeld hadden we ook kunnen kijken wat er gebeurt als de x met 3 toeneemt. In dat geval neemt de y met 6 toe. We hebben dus dy = 6 en dx = 3, wat inderdaad de juiste richtingscoëfficiënt geeft: dy/dx = 6/3 = 2. In ons tweede voorbeeld zouden we bij dx = 3 gevonden hebben dat dy = -6: negatief want het is een afname. De rico wordt dus dy/dx = -6/3 = -2.

We kijken op deze manier naar een derde grafiek: het is niet onmiddellijk duidelijk wat de y-toename is als de x met 1 verhoogd wordt. Wel eenvoudig te zien, is dat als x met 3 toeneemt, de y-waarde 2 stijgt. We hebben dus dx = 3 en dy = 2 en vinden als richtingscoëfficiënt dy/dx = 2/3.

Dan zijn er nog twee speciale gevallen. Het eerste levert weinig problemen op: bij de horizontale lijn kunnen we gewoon de bovenstaande procedure toepassen. We komen dan natuurlijk tot de conclusie dat de rechte niet stijgt of daalt. Met andere woorden: als de x-waarde met 1 toeneemt, neemt de y-waarde met 0 toe (of af). De richtingscoëfficiënt van de horizontale lijn is dus 0.

Bij de verticale lijn loopt de boel echter wel in de soep. Bij deze rechte neemt de x-waarde immers nooit toe of af. De verticale lijn heeft dus geen rico – tenzij je wil zeggen dat de richtingscoëfficiënt oneindig is, wat prima is, maar waar je ook geen steek verder mee komt, aangezien oneindig geen getal is.

Rico in de formule

Een rechte lijn heeft een formule van de vorm y = ax + b, waarbij a en b vaste getallen zijn. Om precies te zijn is de a in deze formule de richtingscoëfficiënt. Dat dit overeenstemt met de interpretatie van de rico die we hierboven gezien hebben, is in te zien met een voorbeeld. Neem als a = 5 (dit is dus de rico) en b = 2, dus de formule is y = 5x + 2.
Dit geeft de volgende tabel:

waarin duidelijk te zien is, dat elke keer dat de x-waarde met 1 toeneemt, de y-waarde met 5 toeneemt.

Overigens is met dit voorbeeld ook te zien wat de b in de formule is: dit is de y die hoort bij x = 0, oftewel: de y-coördinaat van het snijpunt van de lijn met de y-as.

Een horizontale lijn heeft als formule y = b. De x komt niet in de formule voor, omdat het niet uitmaakt welke x-waarde je in de formule stopt, de y-waarde is altijd dezelfde. In de formule is dus a = 0, wat klopt; de rico van een horizontale lijn was inderdaad 0.

Een verticale lijn heeft geen rico, wat betekent dat er geen formule te maken is, want we kunnen niets invullen voor a. Dat klopt: een verticale lijn heeft maar één x-waarde, waar alle y-waarden bijhoren. Maar je kunt alleen een formule maken als er bij een x maximaal één y hoort.

Conclusie

Door het kijken van de grafiek van een rechte lijn kun je de a en b uit de formule vinden. Met dy/dx (oftewel met ‘hokjes tellen’) vind je de richtingscoëfficiënt, oftewel het getal a, en uit het snijpunt met de y-as leid je de b af. Maar het werkt natuurlijk ook de andere kant op. Met deze kennis kun je nu ook de grafiek van een rechte tekenen als je de formule weet, zonder dat hiervoor nog een tabel gemaakt hoeft te worden. Begin dan met de b, waarmee je weet waar de lijn door de y-as gaat. Met behulp van de a kan de grafiek afgemaakt worden, omdat dit getal zegt hoe steil de lijn precies is.