Bewijs dat 1 = 2

Misschien wel de meest onomstotelijke, rotsvaste waarheid in de wiskunde, of zelfs in het leven in het algemeen, is dat 1 niet gelijk is aan 2. Toch bestaat er een vrij overtuigend 'bewijs' voor het tegendeel: dat 1 = 2. Natuurlijk is dit onjuist, er zit een stap in die niet klopt. Het laat zien hoe voorzichtig er met vergelijkingen moet worden omgaan: voor je het weet heb je bizarre resultaten waarmee zelfs de zekerste zekerheden worden tegengesproken. Wie algebraïsche rekenregels toepast op vergelijkingen, moet bijzonder voorzichtig zijn dat er geen essentiële regels overtreden worden. Gebeurt dit wel, dan kan dit leiden tot, laten we zeggen, verrassende resultaten. Bijvoorbeeld dat 1 gelijk is aan 2.

Voor die gewaagde stelling hier een bewijs, dat op het eerste gezicht helemaal juist lijkt te zijn – maar dat uiteraard niet is.

We beginnen met de aanname dat twee getallen, a en b, gelijk zijn. We kunnen dan het volgende afleiden:

a = b

a² = ab

a² + (a² - 2ab) = ab + (a² - 2ab)

2a² - 2ab = a² - ab

2(a² - ab) = 1(a² - ab)

2 = 1

Sommigen zullen ongetwijfeld onmiddelijk de fout zien - omdat ze veel ervaring hebben met wiskunde, omdat ze gewoon geluk hebben, of omdat ze briljant zijn. (Wie niet weet welke van deze drie redenen op hem van toepassing is, wordt aangeraden de laatste te kiezen). Maar veel mensen kunnen tijden naar dit bewijs kijken zonder te zien wat er niet klopt.
Het lijkt alsof elke stap toegestaan is; de basis van het werken met gelijkheden is immers dat je links en rechts van het =-teken hetzelfde moet doen, wat hier steeds gebeurt. Er wordt vermenigvuldigd, opgeteld en gedeeld, maar steeds aan beide kanten. Toch is er één stap bij die absoluut niet uitgevoerd had mogen worden.

Oplossing

Het klopt inderdaad dat links en rechts in de vergelijking hetzelfde getal erbij optellen of ervan aftrekken altijd is toegestaan, net als vermenigvuldigen met hetzelfde getal. Voor delen geldt dit echter niet! In dit geval is er één cruciale uitzondering. Bij de meesten zal er inmiddels een belletje rinkelen: er mag niet door nul gedeeld worden. Een gegeven dat op scholen sinds mensenheugenis (nou ja, toch in ieder geval al minstens een halve eeuw) wordt ingeprent met behulp van het poëtische ezelsbruggetje delen door nul is flauwekul. Wat confronterender zou overigens zijn: wie deelt door nul is een suffe ***, maar dat is misschien wat te scherp geformuleerd, zeker als je bedenkt dat ook de grootste en meest ervaren wiskundigen zo nu en dan tegen de muur lopen (figuurlijk dan) omdat ze door nul gedeeld hebben.

Hoe dan ook, in het 'bewijs' hierboven wordt in de laatste stap gedeeld door nul. De getallen a en b waren immers gelijk aan elkaar, waardoor geldt dat a² = ab, en dus dat de term waardoor gedeeld wordt, a² - ab, gelijk is aan nul.
Dus voor alle duidelijkheid: tot en met de één-na-laatste regel is er niets mis met de algebra, maar in de laatste stap wordt een wiskundige doodzonde begaan.

Overigens is er ook een variant van dit nepbewijs 'voor beginners': deze is korter en absoluut ook flauwer, en daardoor minder leuk en makkelijker te doorzien. Merk van tevoren vast op dat x² - x² kan worden ontbonden als (x + x) (x - x) . We kunnen dan de volgende stappen zetten:

x² - x² = x² - x²

x (x - x) = (x + x) (x - x)

x = x + x

x = 2x

1 = 2

De fout, het delen door nul, gebeurt hier al in de tweede stap (van de tweede naar de derde regel): er wordt gedeeld door x - x , wat uiteraard 0 is.

De moraal van het verhaal

Delen door nul is onmogelijk. Als dit toch gebeurt, is het resultaat onzinnig en waardeloos. Je kunt dan zelfs evidente onwaarheden als 1 = 2 bewijzen. Wie door nul deelt, moet zodoende snel bij zinnen gebracht worden, anders rest hem slechts wiskundige ellende.