Wiskunde: snijpunten van twee functies bepalen

Hoe bepaal je het snijpunt van twee wiskundige functies? Dit is een belangrijk vraagstuk in de wiskunde. Twee rechte lijnen hebben precies een snijpunt, behalve wanneer de lijnen evenwijdig zijn. Een rechte lijn en een parabool hebben twee, een, of nul snijpunten. Om de snijpunten te vinden moet een tweedegraads-vergelijking worden opgelost, hiervoor kun je als hulpmiddel de discriminant D uitrekenen.

Rechte lijnen

Voor het bepalen van het snijpunt van twee rechte lijnen bekijken we eerst de functie die een rechte lijn beschrijft. Een dergelijke functie ziet er als volgt uit:

• f(x) = ax + b

Men noemt dit ook wel een lineaire functie, zie figuur 1.

• f(x) = 2x + 1

deze lijn snijdt de x-as in het punt P(-1/2,0) en de y-as in het punt Q(0,1). De functie kan ook als de y-coördinaat worden geschreven:

• y = 2x + 1

Snijpunt van twee rechte lijnen

Om het snijpunt van de rechte lijnen te bepalen bekijken we de grafiek waarin deze twee lijnen zijn afgebeeld.

• f(x) = 2x + 1
• g(x) = 17 - 2x

Deze functies zullen elkaar snijden in precies één punt: het snijpunt. Waar bevindt zich dit punt? Om het antwoord op deze vraag te vinden kunnen we stellen:
+ de coördinaten van het snijpunt S voldoen aan de functie f(x) en aan de functie g(x).
+ de y-coördinaat van snijpunt S voldoet aan zowel y = f(x) als y = g(x)
+ oftewel f(x) = g(x)

Om het snijpunt te vinden moeten we dus de volgende vergelijking oplossen:

• 2x + 1 = 17 - 2x

Oplossen levert: 4x = 16. Of: x = 16/4 = 4. De waarde x=4 invullen levert y=2*4+1=9. Het punt S(4,9) is het snijpunt van de twee functie's. Twee rechte lijnen hebben altijd precies één snijpunt, behalve wanneer de lijnen evenwijdig aan elkaar zijn.

Snijpunten van een rechte lijn en een parabool

grafisch

We bekijken nu hetzelfde vraagstuk, maar dan voor een parabool en rechte lijn. Gegeven de functie's:

• f(x) = 2x
• g(x) = (x - 4)²

Waar bevindt zich het snijpunt van de twee functie's(?), en,
zijn er meer snijpunten denkbaar?

Zie figuur 3, op het eerste gezicht twee snijpunten; welke punten zijn dat? We passen weer het gelijkstellen van de functie's toe: f(x) = g(x) : 2x = (x - 4)².

Oplossen levert:
2x = (x - 4)² ↔
x² -10x + 16 = 0,

..via de abc-formule vinden we x=2 of x=8 (twee snijpunten). De snijpunten zijn: S1(2,4) en S2(8,16).

[...is de helling van de lijn nul (= 0), dan krijgen we 1 snijpunt S(4,0),
...en als de helling van de lijn (< 0),dan levert dat 0 snijpunten.]

abc formule

Een standaardvorm van een tweedegraadsvergelijking is:

• ax² + bx + c = 0

De functie ax² + bx + c stelt een parabool voor. Gelijkstellen aan nul (= 0) levert:


D = b²- 4ac = de discriminant

het aantal oplossingen wordt zo bepaald:

• (D>0) -- de vergelijking heeft 2 oplossingen (x1 en x2)
• (D=0) -- één oplossing voor x
• (D<0) -- geen oplossing.

algemene vorm ax² + bx + c = 0
De vergelijking ax² + bx + c = 0 stelt voor:

hoeveel snijpunten heeft de parabool (ax² + bx + c) met lijn (y = 0)?

(D < 0) is een speciaal geval. In onze gebruikelijke getallenverzameling R -rationele en irrationele getallen- heeft de vergelijking geen oplossing. Wordt R uitgebreid met complexe getallen (C), dan zijn er wel oplossingen mogelijk.