InfoNu.nl > Wetenschap > Techniek > Hoe reken je het weerstandsmoment uit?

Hoe reken je het weerstandsmoment uit?

Hoe reken je het weerstandsmoment uit? Om de sterkte van een balk te kunnen uitrekenen moet worden gecheckt in hoeverre het weerstandsmoment voldoet. Ieder vorm en ieder profiel heeft deze zogeheten W-waarde en is afgeleid van de I-waarde oftewel het traagheidsmoment van de doorsnede. Die waarde wordt gebruikt om de mate van doorbuiging te bepalen terwijl de W-waarde de feitelijke draag capaciteit bepaalt (wordt de doorsnede meer belast dan het aan kan zal de constructie feitelijk kapot gaan). Hoe wordt de W-waarde van een doorsnede bepaald en hoe wordt het verder afgeleid?

Weerstandsmoment uitrekenen


Traagheids- versus weerstandsmoment

Het traagheidsmoment vormt binnen de elastische mechanica een belangrijke eenheid om mee te rekenen omdat daarmee de doorbuiging van liggers wordt bepaald. De constructie wordt namelijk belast met representatieve belasting en dat resulteert in een vervorming. Daarnaast moet de constructie ook voldoen aan de sterkte welke wordt gebaseerd op rekenbelasting en het weerstandsmoment. Deze twee worden als volgt berekend:
  • doorbuiging = δ = Mrep * L^2 / (48 * E * I) met daarin E is elasticiteit en L is de lengte;
  • sterkte = σ = Md / Wd ≤ σd;
  • I-waarde: is een tot de vierde macht uitkomst welke wordt uitgedrukt in mm^4 als eenheid;
  • W-waarde: is een tot de derde macht uitkomst welke wordt uitgedrukt in mm^3.

De rechthoek en vierkant

Bij een rechthoek of vierkant is er sprake van een breedte en een hoogte waarbij bij de vierkant de maten gelijk aan elkaar zijn. Er is dus sprake van de gekwadrateerde afstand naar het aangrijpingspunt vermenigvuldigd met het oppervlak. Oftewel er is sprake van r^2*dA. Integreren we die beschouwing dan wordt het volgende gevormd:
  • ∫ r^2*dA waarbij over de hoogte wordt geïntegreerd, wat concreet inhoudt;
  • b*∫ (h)^2*dh = b*1/3*h^3 (over 1/2*y tot -1/2*y) = b/3*[(1/2*h)^3-(-1/2*h)^3] = b/3*[1/8*h^3+1/8*h^3];
  • b/3*1/4 *h^3 (b blijft over van het oppervlak aangezien naar h is geïntegreerd;
  • I rechthoek = 1/12 *b*h^3;
  • I vierkant = 1/12 *h^4 (b=h).

Om de W-waarde te bepalen dient de zojuist bepaalde waarde te delen door de halve hoogte oftewel:
  • W rechthoek = 1/12 *b*h^3 / (1/2*h) = 1/6 * b*h^2;
  • W vierkant = 1/6 *h^3.

De driehoek

Bij een driehoek is er sprake van een basis met breedte b waarop een punt staat met hoogte h. Het oppervlak is ½*h*b waarnaast het aangrijpingspunt op 1/3*h van de basis is verwijderd. De I-waarde kan worden bepaald op basis van de relatieve breedte van de driehoek op hoogte h en basis breedte b:
  • b = breedte op hoogte h = b * (1-y/h) waarin y de afstand is tot de basislijn;
  • Ip = ∫y^2*dA = ∫y^2*b*(1-y/h)*dy = b*[1/3*y^3-1/4*y^4/h] over 0 tot h = b*[1/3*h^3-1/4*h^3].

Op de basislijn zou gelden:
  • Ip driehoek = 1/12 *b*h^3 echter de driehoek dient nog naar het evenwichtspunt worden verplaatst waardoor een correctie op de I waarde volgt van:
  • I driehoek = 1/12 *b*h^3 A*r^2;
  • I driehoek = 1/12 *b*h^3 ½ *b*h*(1/3*h)^2 = 1/12 * b*h^3 1/18 *b*h^3 = 1/36 *b*h^3.

Om de W-waarde te bepalen kan worden gebruik gemaakt van de afstand tot de boven en onderkant:
  • W driehoek onder = 1/36 *b*h^3 / (1/3*h ) = 1/12 *b*h^2;
  • W driehoek boven = 1/36 *b*h^3 / (2/3*h) = 1/24 *b*h^2.

Cirkel en buis

Een cirkel is rond en dat houdt in dat in alle richtingen de straal even groot is. Er gelden de volgende uitgangspunten:
  • A = oppervlak = π*r^2 = ¼*π*d^2;
  • Ip-cirkel = Ix-richting + Iy-richting = ∫ x^2*dA + ∫ y^2*dA = polair traagheidsmoment welke eerst moet worden bepaald;
  • Ip = ∫ p^2*dA met dA = 2*π*p*dp met p = de straal over 0 tot r;
  • Ip = ∫ p^2*2*π*p*dp = 2*π*[1/4*p^4] over 0 tot r = 2/4*π*r^4 = ½*π*r^4

De polaire I waarde vormt de moment in twee richtingen echter wij willen de I-waarde in 1 richting weten oftewel:
  • Ix-cirkel = Iy = [½*π*r^4]/2 = ¼*π*r^4 in geval van een straal;
  • Ix-cirkel = 1/64*π*d^4 in geval van een diameter (r^4= (1/2*d)^4= 1/16*d^4);
  • Ix-buis = 1/64*π*(D^4-d^4) = ¼*π*(R^4-r^4);
  • Wx-cirkel = Wy = Ix of Iy gedeeld door de halve afstand oftewel ½*d of r;
  • Wx-cirkel = Wy = ¼*π*r^4 / r = ¼*π*r^3;
  • Wx-cirkel = Wy = 1/64*π*d^4/(1/2*d) = 1/32*π*d^3.
  • Wx-buis = 1/32*π*(D^3-d^3) = ¼*π*(R^3-r^3).

Stelling van Steiner

Deze stelling houdt in dat ieder weerstandsmoment van iedere samengestelde vorm lees rechthoeken, driehoeken en ronde vormen aan een geschakeld kunnen worden uitgerekend door van de afzonderlijke oppervlakten het traagheidsmoment te bepalen plus daarbij opgeteld de gekwadrateerde verplaatsing van dat oppervlak naar de centrale lijn oftewel:
  • I samengesteld = I1 + A1*(y1-y)^2 + I2 + A2*(y2-y)^2;
  • met een totaal oppervlak van A1 + A2;
  • y = (A1*yA1 + A2*yA2) / (A1+A2);
  • W samengesteld = I samengesteld / y.

Bij een T-balk profiel met lijf is 200 mm hoog en 10 mm dik en flens daarop van 200 mm breed en 10 mm hoog geldt:
  • y = neutrale lijn tot rand = (10*200*100+200*10*205)/(4000) = 152,5 mm;
  • I1 = 1/12*10*200^3+200*10*(100-152,5)^2 = 12.179.167 mm^4;
  • I2 = 1/12*200*10^3+10*200*(205-152,5)^2 = 5.529.167 mm^4;
  • I totaal = 17.708.334 mm^4;
  • W samengesteld = 17.708.334/152,5 = 116.120 mm^3.

Lees verder

© 2012 - 2014 Geinformeerd, gepubliceerd in Techniek (Wetenschap) op . Het auteursrecht van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Waarom hebben stalen liggers een bepaalde vorm?Waarom hebben stalen liggers een bepaalde vorm?Liggers hebben tot doel om belasting over een opening te tillen tot het aansluitende vlak is bereikt. Het voorkomt dus d…
Buigen en brekenBuigen en brekenVoordat een constructie breekt gaat het vervormen en buigen. Overbelaste liggers zullen dan ook voor bezwijken een vervo…
Stelling van PythagorasStelling van PythagorasMet de stelling van Pythagoras kun je de lengtes van de zijden van een rechthoekige driehoek berekenen. De stelling is r…
Wat houdt de UC waarde in bij constructie berekeningen?Wat houdt de UC waarde in bij constructie berekeningen?Om een constructie door te rekenen dient één en ander te voldoen aan de gestelde constructieve eisen zoals opgelegd door…
Hoeveel buigt een stalen ligger door?Hoeveel buigt een stalen ligger door?Een stalen ligger kan een bepaalde mate van doorbuiging opnemen welke wordt bepaald door de elasticiteit in combinatie m…
Bronnen en referenties
  • http://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Steiner
  • http://nl.wikipedia.org/wiki/Traagheidsmoment
  • http://nl.wikipedia.org/wiki/Weerstandsmoment

Reageer op het artikel "Hoe reken je het weerstandsmoment uit?"

Plaats als eerste een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Infoteur: Geinformeerd
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Techniek
Special: Materiaaleigenschappen
Bronnen en referenties: 3
Schrijf mee!