Hoe reken je het weerstandsmoment voor sterkte uit?

Om de sterkte van een balk te kunnen uitrekenen moet worden nagegaan in hoeverre het weerstandsmoment voldoet. Ieder vorm en ieder profiel heeft deze zogeheten W-waarde en is afgeleid van de I-waarde oftewel het traagheidsmoment van de doorsnede. Die waarde wordt gebruikt om de mate van doorbuiging te bepalen, terwijl de W-waarde de feitelijke draagcapaciteit bepaalt (wordt de doorsnede meer belast dan het aan kan zal de constructie feitelijk kapot gaan). Hoe wordt de W-waarde van een doorsnede bepaald en hoe wordt het verder afgeleid?

Weerstandsmoment uitrekenen

• Weerstandsmoment voor sterkte
• Rechthoek en vierkant
• Driehoek
• Cirkel en buis
• Stelling van Steiner

Weerstandsmoment voor sterkte

Het traagheidsmoment vormt binnen de elastische mechanica een belangrijke eenheid om mee te rekenen, omdat daarmee de doorbuiging van liggers wordt bepaald. De constructie wordt namelijk belast met representatieve belasting en dat leidt tot een vervorming. Daarnaast moet de constructie ook voldoen aan de sterkte, welke wordt gebaseerd op rekenbelasting en het weerstandsmoment. Deze twee worden als volgt berekend:

• doorbuiging = δ = Mrep * L^2 / (48 * E * I) met daarin E is elasticiteit en L is de lengte;
• sterkte = σ = Md / Wd ≤ σd;
• I-waarde: is een tot de vierde macht uitkomst dat wordt uitgedrukt in mm^4 als eenheid;
• W-waarde: is een tot de derde macht uitkomst dat wordt uitgedrukt in mm^3.

Rechthoek en vierkant

Bij een rechthoek of vierkant is er sprake van een breedte en een hoogte, waarbij bij de vierkant de maten gelijk aan elkaar zijn. Er is dus sprake van de gekwadrateerde afstand naar het aangrijpingspunt vermenigvuldigd met het oppervlak. Oftewel er is sprake van r^2*dA. Integreren we die beschouwing dan wordt het volgende gevormd:

• ∫ r^2*dA waarbij over de hoogte wordt geïntegreerd, wat praktisch inhoudt;
• b*∫ (h)^2*dh = b*1/3*h^3 (over 1/2*y tot -1/2*y) = b/3*[(1/2*h)^3-(-1/2*h)^3] = b/3*[1/8*h^3+1/8*h^3];
• b/3*1/4 *h^3 (b blijft over van het oppervlak, aangezien naar h is geïntegreerd;
• I rechthoek = 1/12 *b*h^3;
• I vierkant = 1/12 *h^4 (b=h).

Om de W-waarde te bepalen dient de zojuist bepaalde waarde te delen door de halve hoogte oftewel:

• W rechthoek = 1/12 *b*h^3 / (1/2*h) = 1/6 * b*h^2;
• W vierkant = 1/6 *h^3.

Driehoek

Bij een driehoek is er sprake van een basis met breedte b, waarop een punt staat met hoogte h. Het oppervlak is ½*h*b, waarbij het aangrijpingspunt op 1/3*h van de basis is verwijderd. De I-waarde kan worden bepaald op basis van de relatieve breedte van de driehoek op hoogte h en basis breedte b:

• b’ = breedte op hoogte h = b * (1-y/h) waarin y de afstand is tot de basislijn;
• Ip = ∫y^2*dA = ∫y^2*b*(1-y/h)*dy = b*[1/3*y^3-1/4*y^4/h] over 0 tot h = b*[1/3*h^3-1/4*h^3].

Op de basislijn zou gelden:

• Ip driehoek = 1/12 *b*h^3 echter de driehoek dient nog naar het evenwichtspunt worden verplaatst waardoor een correctie op de I waarde volgt van:
• I driehoek = 1/12 *b*h^3 – A*r^2;
• I driehoek = 1/12 *b*h^3 – ½ *b*h*(1/3*h)^2 = 1/12 * b*h^3 – 1/18 *b*h^3 = 1/36 *b*h^3.

Om de W-waarde te bepalen kan worden gebruik gemaakt van de afstand tot de boven en onderkant:

• W driehoek onder = 1/36 *b*h^3 / (1/3*h ) = 1/12 *b*h^2;
• W driehoek boven = 1/36 *b*h^3 / (2/3*h) = 1/24 *b*h^2.

Cirkel en buis

Een cirkel is rond en dat houdt in dat in alle richtingen de straal even groot is. Er gelden de volgende uitgangspunten:

• A = oppervlak = π*r^2 = ¼*π*d^2;
• Ip-cirkel = Ix-richting + Iy-richting = ∫ x^2*dA + ∫ y^2*dA = polair traagheidsmoment welke eerst moet worden bepaald;
• Ip = ∫ p^2*dA met dA = 2*π*p*dp met p = de straal over 0 tot r;
• Ip = ∫ p^2*2*π*p*dp = 2*π*[1/4*p^4] over 0 tot r = 2/4*π*r^4 = ½*π*r^4

De polaire I waarde vormt het moment in twee richtingen echter de I-waarde in 1 richting is benodigd, oftewel:

• Ix-cirkel = Iy = [½*π*r^4]/2 = ¼*π*r^4 in geval van een straal;
• Ix-cirkel = 1/64*π*d^4 in geval van een diameter (r^4= (1/2*d)^4= 1/16*d^4);
• Ix-buis = 1/64*π*(D^4-d^4) = ¼*π*(R^4-r^4);
• Wx-cirkel = Wy = Ix of Iy gedeeld door de halve afstand oftewel ½*d of r;
• Wx-cirkel = Wy = ¼*π*r^4 / r = ¼*π*r^3;
• Wx-cirkel = Wy = 1/64*π*d^4/(1/2*d) = 1/32*π*d^3.
• Wx-buis = 1/32*π*(D^4-d^4)/D = ¼*π*(R^4-r^4)/R.

Stelling van Steiner

Deze stelling houdt in dat ieder weerstandsmoment van iedere samengestelde vorm – lees rechthoeken, driehoeken en ronde vormen aan een geschakeld – kunnen worden uitgerekend door van de afzonderlijke oppervlakten het traagheidsmoment te bepalen plus daarbij opgeteld de gekwadrateerde verplaatsing van dat oppervlak naar de centrale lijn oftewel:

• I samengesteld = I1 + A1*(y1-y)^2 + I2 + A2*(y2-y)^2;
• met een totaal oppervlak van A1 + A2;
• y = (A1*yA1 + A2*yA2) / (A1+A2);
• W samengesteld = I samengesteld / y.

Bij een T-balk profiel met lijf is 200 mm hoog, 10 mm dik met een flens daarop van 200 mm breed en 10 mm hoog geldt:

• y = neutrale lijn tot rand = (10*200*100+200*10*205)/(4000) = 152,5 mm;
• I1 = 1/12*10*200^3+200*10*(100-152,5)^2 = 12.179.167 mm^4;
• I2 = 1/12*200*10^3+10*200*(205-152,5)^2 = 5.529.167 mm^4;
• I totaal = 17.708.334 mm^4;
• W samengesteld = 17.708.334/152,5 = 116.120 mm^3.

Lees verder

• Hoe herleid je momenten bij een ligger op twee steunpunten?
• Hoe reken je zelf een stalen ligger uit?
• Hoe reken je een betonnen balk door?
• Wat is het verschil tussen representatieve en rekenwaarden?
• Wat houdt het traagheidsmoment voor stijfheid in?