Hoe reken je de doorbuiging van een betonnen balk door?

Voor het berekenen van de doorbuiging van betonbalken, dient een samengestelde EI (elasticiteit * traagheidsmoment) worden toegepast. Daartoe dient de k-waarde te worden bepaald, welke de mate van vervorming door moment-belasting bepaalt. Dit wordt gedaan aan de hand van een M-k diagram. Hoe bepaal je die relatie op basis van een gewapende balkdoorsnede en hoe vertaalt het naar de doorbuiging betonbalk?

Doorbuiging betonbalk uitrekenen

• Waarom een betonbalk gebruiken?
• Uitgangspunten van de betonbalk
• Ondergrenzen elastische vervorming
• Maximale vervormingsgrenzen
• Optredende momenten
• Doorbuiging betonbalk

Waarom een betonbalk gebruiken?

Overal in gebouwen worden betonnen balken van klein tot groot toegepast, om belastingen van het veld naar de steunpunten over te dragen. Daartoe wordt de betondoorsnede met wapeningsstaal afgewapend, om voldoende sterkte en stijfheid te kunnen garanderen. Als dit afdoende is afgewapend, voldoet de balk. Ondanks dat de balk voldoende sterk is en meestal ook voldoende stijfheid heeft, zal de balk ook enigszins doorbuigen. Hoe wordt de doorbuiging van een betonbalk bepaald door het M-k diagram tezamen met de samengestelde EI toe te passen?

Uitgangspunten van de betonbalk

Stel, in jouw woning moet een vloer over een gat worden afgedragen. Om dat te kunnen doen, is het gebruik van een betonbalk nodig, zodat de belastingen veilig naar de ondersteuningen wordt afgedragen. In dit geval gaan we uit van een balk breed 400 mm en hoog 500 mm om een overspanning van 5 m te behalen. De balk draagt een vloer en daaruit komen de volgende belastingen:

• rustende belasting = 15 kN/m;
• variabel = 5 kN/m;
• eigen gewicht = 0,5*0,4*24 = 4,8 kN/m.

De betonbalk wordt gemaakt van C25 in combinatie met FeB500 bij een dekking van 30 mm (XC1).

• M;d = 0,125*(1,2*(15+4,8)+1,5*5)*5^2 = 97,69 kNm;
• d = 500-30-8-10 = 452 mm;
• M;d/(b*d^2) = 97,69/(0,4*0,452^2) = 1195 -> w0 = 0,29 (lees de GTB-tabel af).

Ondergrenzen elastische vervorming

Op basis van de kruipcoëfficiënt φ;max kan de volgende relatie worden bepaald voor de korte en langdurige belasting:

• E’b∞ = E’b/(1+3/4*φ;max) = 28.500/(1+3/4*3,6) = 7.700 N/mm2;
• n;lang = 200.000/7.702 = 26, n;kort = 200.000/28.500 = 7;
• n*w0;lang = 26*0,29= 7,54;
• kw;lang = [(1,54-1,37)*0,3+0,37]*7,54/15+1 = 1,21;
• kI;lang = [(2,46-1,78)*0,3+0,78]*7,54/70+1 = 1,11;
• n*w0;kort = 7*0,29 = 2,03;
• kw;kort = [(1,54-1,37)*0,3+0,37]*2,03/15+1 = 1,06;
• kI;kort = [(2,46-1,78)*0,3+0,78]*2,03/70+1 = 1,03;
• kh = 1,6 – 0,50 = 1,1;
• fbr = kh * f;bm = 1,1*2,3;
• M;rt(lang) = 1,2 * f;br * W * kw;lang = 1,2*kh*f;bm*(1/6*b*h^2)*kw = 1,2*1,1*2,3*1/6*400*500^2*1,21 = 61,2 kNm;
• EI∞ = E’b∞*kI*I = 7.700*1,11*(1/12*400*500^3) = 35,6*10^12 Nmm2 = 35.600 kNm2;
• k;rt = M;rt/EI∞ = 61,2/35.600 = 1,72*10^(-3);
• M;r(kort) = 1,4 * f;br * W * kw;kort = 1,4*1,1*2,3*1/6*400*500^2*1,06 = 62,6 kNm;
• EI;0 = 28.500*1,03*(1/12*400*500^3) = 122,3*10^12 Nmm2 = 122.300 kNm2;
• kr = Mr/EI;0 = 61,2/122.300 = 0,5*10^(-3).

Maximale vervormingsgrenzen

De doorbuiging mag nooit groter zijn dan zekere maximale waarden, waartoe de maximale vervormingsgrenzen gebaseerd op de hoogte van de drukzone en vervormingscapaciteit van het toegepaste materiaal. Voor de bepaling van de maximale vervorming op basis van representatieve belasting geldt het volgende:

• 1/2*b*x^2 = n * (d-x) * w0 * b * d / 100 bij d = 500-30-8-20/2 = 452 geldt;
  Bron: Http://geinformeerd.infoteur.nl
• 1/2*400*x^2 = 26 * (452 – x) * 0,29 * 400 * 500 / 100 = 15.080*(452-x);
• 200*x^2 + 15.080 * x – 6.816.160;
• x = [ -15.080 + √(4*200*6.816.160)]/(2*200) = 147 mm (hoogte drukzone).

Uitgaande van een maximale vervorming van het betonstaal Es = 2,5‰ is de betonvervorming E’b = 2,5‰*147/(452-147) = 1,2‰<0,72*f’ck/7700 = 0,72*25/7700 = 2,34‰:

• M;et;kort = As*fs;rep*(d-1/3*x) = 0,29*400*500/100*500*(452-1/3*147) = 116,9 kNm;
• k;et = 2,5*10^(-3) / (452-147) = 8,2*10^(-3).

Bij kortdurende belasting geldt echter het volgende:

• 1/2*400*x^2 = 7 * (452 – x) * 0,29 * 400 * 500 / 100 = 2.320*(452-x);
• 200*x^2 + 2.320 * x – 1.048.640 = 0;
• x = [ -2.320 + √(4*200*1.048.640)]/(2*200) = 67 mm;
• Me = 0,29*400*500/100*500*(452-1/3*67) = 124,6 kNm;
• ke = 2,5*10^(-3) / (452-67) = 6,5 * 10^(-3).

Optredende momenten

Om de belastingen uit de vloer af te kunnen dragen, dient de verticale belasting in een moment en haakse opgetelde kracht te worden vertaald. Om de verschillende momenten tijdens gebruiksfase te kunnen bepalen, dienen de volgende dwarskrachten te worden gebruikt:

• q;d = 1,2*(15+4,8)+1,5*5 = 31,26 kN/m2;
  Bron: Http://geinformeerd.infoteur.nl
• q;mom = 15+4,8+0,6*0,4*5 = 21 kN/m2;
• q;rep = 15+4,8+5 = 24,80 kN/m2;
• q;eg = 4,8 kN/m2.

Daaruit worden de volgende maatgevende momenten gehaald en kan de k-waarde uit de M-k diagram worden afgelezen:

• M;d = M;u = 97,69 kNm;
• M;mom = 0,125*21*5^2 = 65,6 kNm (k;mom = 2,45 en k;el = 1,1);
• M;rep = 0,125*24,8*5^2 = 77,5 kNm (k;rep = 2,10);
• M;eg = 0,125*4,8*5^2 = 15 kNm (k;eg = k;on = 0,15).
• k;kruip = k;mom – k;el = 2,45 - 1,1 = 1,35;
• k;tot = k;rep + k;kruip = 2,10 + 2,35 = 4,45.

Doorbuiging betonbalk

De doorbuiging is afhankelijk van de mate van elasticiteit in combinatie met het traagheidsmoment van de doorsnede:

• EI∞ = Mrep / k;tot = 77,5 / 4,45 * 10^(-3) = 17.415 kNm2;
• EI;0 = M;eg / k;on = 15 / 0,15*10^(-3) = 100.000 kNm2;
• u;tot = totale doorbuiging = 5/48*Mrep*L^2 / EI∞ = 5/48*77,5*5^2/17.415 = 0,012 m = 12 mm;
• u;on = 5/48*M;eg*L^2/EI;0 = 5/48*15*5^2/100.000 = 0,004 m = 4 mm;
• u;bij = 12-4 = 8 mm.
• u;eind < 0,004*L = 0,004*5000 = 20 mm, voldoet;
• u;bij < 0,003*L = 0,003*5000 = 15 mm, voldoet.

Uit voorgaande blijkt dat de EI relatief hoog is door de hogere dikte van de balk ten opzichte van vloeren, waardoor de k-waarde minder snel toeneemt. Balken hebben daarom relatief minder last van vervormingen en zal meestal de wapening op basis van sterkte maatgevend zijn. Let wel dat een controle van de doorbuiging noodzakelijk is.

Lees verder

• Buiging betonvloer: hoeveel buigt een gewapende vloer door?
• Hoe reken je het M-k diagram voor een betondoorsnede uit?
• Hoe reken je een betonnen balk door?
• Hoe reken je een betonvloer uit?
• Ontwerpberekening betonwapening volgens GTB tabellen