Hoeveel buigt een stalen ligger door op de vloeigrens?

Stalen liggers worden belast op een moment, waarmee in de balk een spanning ontstaat. Die spanning mag nooit groter zijn dan de vloeigrens van het materiaal. Is de spanning groter dan zal de stalen ligger bezwijken, doordat de vloeigrens van het staal is bereikt. Wat houdt elastische buiging in en hoe kun je uitrekenen hoeveel de doorbuiging is op de vloeigrens voordat de ligger werkelijk bezwijkt?

Doorbuiging stalen ligger op vloeigrens uitrekenen

• Wat is de vloeigrens?
• Werkelijke spanning zonder rekenwaarden
• Relatie vloeigrens doorbuiging
• Een voorbeeld ter verduidelijking
• Een hogere belasting komt voor

Wat is de vloeigrens?

Staal heeft de eigenschap om rechtlijnig elastisch door te buigen overeenkomstig de elasticiteitsmodulus van het materiaal. Dat houdt in dat bij een rechtlijnige spanningstoename de doorbuiging ook rechtlijnig toeneemt. Met die eigenschap kan tot de vloeigrens precies worden vastgesteld hoeveel een profiel bij een bepaalde overspanning werkelijk gaat doorbuigen. De vloeigrens is de fysieke grens tussen gewone doorbuiging en onveranderbare plastische vervorming. Wordt de belasting tot die grens er afgehaald dan komt het in de oorspronkelijke vorm terug. Indien het verder wordt belast dan is de doorbuiging een onveranderbare vervorming geworden. Binnen het ontwerp van constructies is het dus altijd noodzaak om staalconstructies onder deze grens te ontwerpen.

Werkelijke spanning zonder rekenwaarden

Indien de vloeigrens werkelijk wordt bereikt dan is er geen sprake meer van veiligheden. Oftewel de maximale uiterste spanning wordt bereikt binnen de representatieve optredende spanningen. Standaard zit er tussen het weerstandsmoment en traagheidsmoment een factor y. Dit is de afstand van de basis tot de neutrale lijn van de ligger. Bij gelijkvormige doorsneden zoals een HEA of IPE geldt dat y = 1/2*h. De maximale spanning waarbij nog elastische vervorming van toepassing is bedraagt σ = 235 N/mm2 en staat gelijk aan M;d/W. Daartoe wordt de rekenwaarde van het moment gebruikt, echter in dit geval dient het zonder veiligheden te worden bepaald oftewel σ = M;r/W. Het vertaalt zich naar M;r = σ*W en dat kan in de formule voor de doorbuiging worden ingevuld.

Relatie vloeigrens doorbuiging

De mate van doorbuiging van een stalen ligger wordt bepaald middels het traagheidsmoment I;rep van de doorsnede in combinatie met de elasticiteit E van het materiaal. De doorbuiging is vastgelegd volgens:

• δ = M;rep * L^2 / (48*E*I;rep) = σ;rep*W;d * L^2 / (48*E*I;rep);
• W * 1/2*h = I -> W/I = 1/(1/2*h) = 2/h = y;
• δ = 2 * σ;rep * L^2 / (48*E*h) = σ;rep * L^2 / (24*E*h). Dit is de doorbuiging tot 99,99% van de vloeigrensspanning is behaald, daarna kan een plastische vervorming orde grootte 4-6 maal deze doorbuiging optreden.

Let wel dat in dit geval geldt dat als er geen gelijkvormige doorsnede betreft dan moet de y-afstand van de neutrale lijn tot de basis worden gebruikt.

Een voorbeeld ter verduidelijking

Een dakligger van 4 m overspanning is ontworpen op een belasting van 7,4 kN/m representatief en 10,0 kN/m rekenwaarde. Wat is de toegepaste ligger?:

• M;rep = 0,125*7,4*4^2 = 14,8 kNm;
• M;d = 0,125*10,0*4^2 = 20,0 kNm;
• I;rep = 14,8*10^6 * 4000 / (48*210.000*0,004) = 146,8*10^4 mm4;
• W;d = 20,0*10^6 / 235 = 85,2*10^3 mm3.

In dit geval kan er een HEA120 worden gekozen. W;d = 106,3*10^3 mm3 en I;rep = 606,2*10^4 mm4. Dit houdt in een optredende representatieve spanning en doorbuiging van:

• σ;rep = M;rep/W;d = 14,8*10^6/106,3*10^3 = 139,2 N/mm2;
• σ;d = M;d/W;d = 20,0*10^6/106,3*10^3 = 188,0 n/mm2;
• δ = 14,8*10^6*4000^2 / (48*210.000*606,2*10^4) = 4 mm.

Een hogere belasting komt voor

Het kan voorkomen dat door extreme onvoorziene omstandigheden opgehoopte sneeuw (iets dat minder dan eens per 50 jaar voorkomt) in combinatie met regen een te zwaar pakket gaat vormen. Het kan leiden tot een extreme opbouw van spanningen waardoor mogelijk de uiterste vloeigrens wordt bereikt. In dat geval bedraagt σ;rep = 235 N/mm2 net voordat plastische vervorming van toepassing is:

• hoogte HEA120 = 114 mm;
• δ;99,99% elastische vervorming = 235*4000^2 / (24*210.000*114) = 6,5 mm;
• δ;plastisch 100% = 6,5*5 = 32,5 mm;
• δ;totaal = 39 mm.

Ten opzichte van de lengte betreft het dus een aanzienlijke toename van de vervorming en zal opvallen. Dit is direct een waarschuwingsmechanisme van het toegepaste warmgewalste staal. Er is sprake van overbelasting en kan leiden tot verdere bezwijken. Dit is ook de reden waarom constructief gezien ver onder deze grens moet worden ontworpen. Let wel dat de werkelijke hoogte van de vloeigrens afhankelijk van het productieproces en staalkwaliteit is, waarnaast geldt dat de plastische vervorming oncorrigeerbaar is.

Lees verder

• Het verschil tussen koud gevormd en warm gewalst staal!
• Hoeveel buigt een stalen ligger door?
• Hoe kan een vierkante stalen kolom rond worden?
• De elasticiteitsmodulus van staal
• Wat houdt het traagheidsmoment voor stijfheid in?