Kansrekening: de stelling van de typende apen

De stelling van de eindeloos typende apen werd in 1913 geformuleerd door de Franse wiskundige en politicus Émile Borel (1871-1956). Hij beweerde dat een groep apen die tot in het oneindige op de toetsen van een typemachine slaan vrijwel zeker een boek uit de Franse Nationale Bibliotheek zullen produceren.

• De stelling van de eindeloos typende apen
• Bewijs van de stelling
• Bewijs in de praktijk
• Émile Borel

De stelling van de eindeloos typende apen

Als een groep apen tot in het oneindige op een typemachine mag typen zullen ze vrijwel zeker een boek uit de Franse Nationale Bibliotheek reproduceren. Dat beweerde Émile Borel in 1913 in het artikel “Mécanique statistique et irréversibilité”. Het gebruik van de term “vrijwel zeker” in deze stelling is van groot belang, omdat de stelling in de praktijk hoogstwaarschijnlijk niet bewaarheid zal worden. De typende apen symboliseren een willekeurige opeenvolging van gebeurtenissen, die in het oneindige ooit een vooraf omschreven resultaat tot gevolg hebben.

Bewijs van de stelling

Het bewijs van de stelling van de eindeloos typende apen kan het beste geïllustreerd worden met een simpel voorbeeld. We wachten niet op een heel boek, maar op een woord, “aap” bijvoorbeeld. Hoe groot is de kans dat een aap het woord “aap” typt? Uitgaande van een toetsenbord met 50 tekens, is de kans dat een aap de letter “a” typt 1:50. De kans dat hij de combinatie “aa” typt is 1:50 maal 1:50. Dat is 1:2500. De kans dat het woord “aap”verschijnt is nog 50 keer zo klein: 1:125000. Zo verder redenerend zal duidelijk zijn dat de kans dat een heel boek tevoorschijn komt uitermate klein is, maar niet gelijk aan nul. Als de apen dus tot in het oneindige doorgaan, zal ooit het gevraagde resultaat bereikt worden.

Bewijs in de praktijk

Er zijn diverse pogingen, al dan niet ludiek bedoeld, ondernomen om de stelling in de praktijk te bewijzen. Zo werd in 2003 een experiment uitgevoerd door de Universiteit van Plymouth en de dierentuin Paington Zoo. Zes apen kregen een maand lang een toetsenbord in hun kooi. De apen produceerden slechts zes pagina’s tekst, hoofdzakelijk bestaand uit lange reeksen van de letters g, s en q. daarnaast gooiden de apen stenen naar het toetsenbord en poepten ze er op.

Émile Borel

Émile Borel was een Frans wiskundige en politicus. Hij werd geboren in 1871. In 1892 studeerde hij af aan de École Polytechnique. Hij ging lesgeven aan de universiteit van Lille, promoveerde en werd hoogleraar op de universiteit van Parijs. Zijn wetenschappelijke carrière onderbrak hij tijdens de Eerste Wereldoorlog om leiding te geven aan een artillerie bataljon. Vanaf 1924 ging Borel de politiek in. Eerst als parlementslid en in 1925 als minister van Marine. Tijdens de Tweede Wereldoorlog ging hij het verzet in en zat hij enige tijd gevangen. In 1950 ontving Émile Borel de hoge Franse onderscheiding Grand Croix Légion d’Honneur. Hij overleed in 1956.

Betekenis als wiskundige

Als wiskundige leeft Borel’s naam voort in de Borelverzameling. Hij was vooral van betekenis voor de maattheorie en de toepassing daarvan in de kanstheorie. Ook bekend zijn de Borel-Cantelli lemma’s over kansrekening en waarschijnlijkheid.

Lees verder

• Wiskundeangst, maak er gebruik van!
• De vierkleurenstelling
• Palindromen in de wiskunde
• Hilberts Hotel - transfiniete getallen