InfoNu.nl > Wetenschap > Wiskunde > Hilberts Hotel - transfiniete getallen

Hilberts Hotel - transfiniete getallen

Hilberts Hotel - transfiniete getallen Hilberts Hotel is een denkbeeldige constructie, bedacht door de Duitse wiskundige David Hilbert, die daarmee het wiskundige begrip oneindigheid wilde illustreren. Het is verwant aan de leer van transfiniete getallen, waarmee de grootte van oneindige verzamelingen gemeten kan worden. Het verhaal begint met de bouw van een hotel met een oneindig aantal kamers.
Bron: Onbekend, Wikimedia Commons (CC BY-SA-3.0)Bron: Onbekend, Wikimedia Commons (CC BY-SA-3.0)

Het hotel wordt geopend

Het verhaal van Hilbert begint bij de feestelijke opening van het hotel. Iedereen is er welkom, op voorwaarde dat hij of zij van kamer verandert als daarom gevraagd wordt. Het loopt storm en binnen de kortste keren zijn alle kamers bezet. De volgende gast dient zich aan en kan zonder veel moeite aan een kamer geholpen worden: de hotelmanager vraagt alle gasten een kamer op te schuiven, van kamer 1 naar kamer 2, van kamer 2 naar kamer 3 enzovoort. En de gast in de laatste kamer? Die schuift ook gewoon een kamer op, er is immers een oneindig aantal kamers. En de nieuwe gast krijgt kamer 1.

Oneindig veel gasten

Er stapt een reisleider het hotel binnen met een probleem. Hij heeft een reisgezelschap van oneindig veel gasten, die in het hotel moeten overnachten. De manager wrijft in zijn handen en heeft snel de oplossing voorhanden. Hij vraagt alle gasten hun kamernummer te vermenigvuldigen met 2 en naar die kamer te verhuizen. Nu zijn alleen de even kamernummers bezet, zodat het reisgezelschap de kamers met een oneven nummer kan betrekken.

Nog oneindig veel meer gasten

Een volgende reisleider stapt in paniek het hotel binnen. Hij heeft de leiding over een oneindig aantal reisgezelschappen, elk met een oneindig aantal toeristen. De hotelmanager stelt hem gerust, bestelt snel een nieuw bankstel en een breedbeeld televisie en komt met de oplossing. Hij vraagt alle gasten in de kamers waarvan het kamernummer een priemgetal is, of een veelvoud daarvan, het getal 2 te verheffen tot de macht van hun kamernummer en naar dat kamernummer te verhuizen. Vervolgens kent hij aan ieder nieuw reisgezelschap een priemgetal, groter dan 2 toe. Per reisgezelschap kent hij de toeristen een oneven nummer toe. Iedereen kan dan zijn kamernummer berekenen door het priemgetal van zijn reisgezelschap tot de macht van het aan hem of haar toegewezen nummer. Omdat er een oneindig aantal priemgetallen is en een oneindig aantal oneven nummers, kan iedereen wederom een kamer vinden.

David Hilbert

De Duitse wiskundige David Hilbert (1862-1943) geldt als een van de belangrijkste wiskundigen van de negentiende en begin twintigste eeuw. Het grootste deel van carrière was hij hoogleraar aan de universiteit van Göttingen. Daar werd zijn faculteit een kweekvijver voor wiskundig talent. Schaakkampioen Emanuel Lasker en beroemde wiskundigen en filosofen als Hermann Weyl, Ernst Zermelo, en Carl Gustav Hempel behoorden tot zijn studenten. Toen in 1933 de Nazi’s in Duitsland aan de macht kwamen, werd door rassenzuiveringen (veel van de studenten waren Joden of waren met Joden getrouwd) een eind gemaakt aan deze kweekvijver. Hilbert legde de wiskundige basis voor de kwantummechanica en bepaalde, samen met zijn studenten, de toekomst van de wiskunde in de twintigste eeuw.

Transfiniete getallen

Met het verhaal van Hilberts Hotel probeerde Hilbert de wereld van de transfiniete getallen duidelijk en tastbaar te maken. Een transfiniet getal is groter dan het grootste eindige getal, maar niet noodzakelijk het grootste getal dat er bestaat. De term “transfiniet” werd vroeger in het leven geroepen om het gebruik van de term “oneindigheid” te vermijden, waar veel wetenschappers toen huiverig tegenaan keken.

Lees verder

© 2014 - 2019 Lebonton, het auteursrecht (tenzij anders vermeld) van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Wat betekent oneindig?Wat betekent oneindig?Een echte hersenkraker. Om gek van te worden. Maar wat houdt het nu precies in? Hoe kan er het beste tegenaan gekeken wo…
Soorten getallenIn de wiskunde zijn verschillende soort getallen bekend. Deze soorten getallen hebben allen hun eigen eigenschappen. Zo…
Hoeveel breuken zijn er?Hoeveel breuken zijn er?Een breuk is een verhouding van twee gehele getallen, ook wel een rationeel getal genoemd. Elk getal van de vorm a/b met…
Priemgetallen begrijpenPriemgetallen zijn waarschijnlijk de meest bekende getallen binnen de wiskunde, en dan met name getaltheorie. Maar wat z…
De getallenverzameling der natuurlijke getallenDe getallenverzameling der natuurlijke getallenDeze verzameling getallen mag beschouwd worden als opgebouwd uit de eenvoudigste getallen die we kennen. Het zijn de get…
Bronnen en referenties

Reageer op het artikel "Hilberts Hotel - transfiniete getallen"

Plaats als eerste een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Ik ga akkoord met de privacyverklaring en ben bekend met de inhoud hiervan
Infoteur: Lebonton
Gepubliceerd: 04-07-2014
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Bronnen en referenties: 4
Schrijf mee!