Hilberts Hotel - transfiniete getallen

Hilberts Hotel is een denkbeeldige constructie, bedacht door de Duitse wiskundige David Hilbert, die daarmee het wiskundige begrip oneindigheid wilde illustreren. Het is verwant aan de leer van transfiniete getallen, waarmee de grootte van oneindige verzamelingen gemeten kan worden. Het verhaal begint met de bouw van een hotel met een oneindig aantal kamers.

• Het hotel wordt geopend
• Oneindig veel gasten
• Nog oneindig veel meer gasten
• David Hilbert
• Transfiniete getallen

Het hotel wordt geopend

Het verhaal van Hilbert begint bij de feestelijke opening van het hotel. Iedereen is er welkom, op voorwaarde dat hij of zij van kamer verandert als daarom gevraagd wordt. Het loopt storm en binnen de kortste keren zijn alle kamers bezet. De volgende gast dient zich aan en kan zonder veel moeite aan een kamer geholpen worden: de hotelmanager vraagt alle gasten een kamer op te schuiven, van kamer 1 naar kamer 2, van kamer 2 naar kamer 3 enzovoort. En de gast in de laatste kamer? Die schuift ook gewoon een kamer op, er is immers een oneindig aantal kamers. En de nieuwe gast krijgt kamer 1.

Oneindig veel gasten

Er stapt een reisleider het hotel binnen met een probleem. Hij heeft een reisgezelschap van oneindig veel gasten, die in het hotel moeten overnachten. De manager wrijft in zijn handen en heeft snel de oplossing voorhanden. Hij vraagt alle gasten hun kamernummer te vermenigvuldigen met 2 en naar die kamer te verhuizen. Nu zijn alleen de even kamernummers bezet, zodat het reisgezelschap de kamers met een oneven nummer kan betrekken.

Nog oneindig veel meer gasten

Een volgende reisleider stapt in paniek het hotel binnen. Hij heeft de leiding over een oneindig aantal reisgezelschappen, elk met een oneindig aantal toeristen. De hotelmanager stelt hem gerust, bestelt snel een nieuw bankstel en een breedbeeld televisie en komt met de oplossing. Hij vraagt alle gasten in de kamers waarvan het kamernummer een priemgetal is, of een veelvoud daarvan, het getal 2 te verheffen tot de macht van hun kamernummer en naar dat kamernummer te verhuizen. Vervolgens kent hij aan ieder nieuw reisgezelschap een priemgetal, groter dan 2 toe. Per reisgezelschap kent hij de toeristen een oneven nummer toe. Iedereen kan dan zijn kamernummer berekenen door het priemgetal van zijn reisgezelschap tot de macht van het aan hem of haar toegewezen nummer. Omdat er een oneindig aantal priemgetallen is en een oneindig aantal oneven nummers, kan iedereen wederom een kamer vinden.

David Hilbert

De Duitse wiskundige David Hilbert (1862-1943) geldt als een van de belangrijkste wiskundigen van de negentiende en begin twintigste eeuw. Het grootste deel van carrière was hij hoogleraar aan de universiteit van Göttingen. Daar werd zijn faculteit een kweekvijver voor wiskundig talent. Schaakkampioen Emanuel Lasker en beroemde wiskundigen en filosofen als Hermann Weyl, Ernst Zermelo, en Carl Gustav Hempel behoorden tot zijn studenten. Toen in 1933 de Nazi’s in Duitsland aan de macht kwamen, werd door rassenzuiveringen (veel van de studenten waren Joden of waren met Joden getrouwd) een eind gemaakt aan deze kweekvijver. Hilbert legde de wiskundige basis voor de kwantummechanica en bepaalde, samen met zijn studenten, de toekomst van de wiskunde in de twintigste eeuw.

Transfiniete getallen

Met het verhaal van Hilberts Hotel probeerde Hilbert de wereld van de transfiniete getallen duidelijk en tastbaar te maken. Een transfiniet getal is groter dan het grootste eindige getal, maar niet noodzakelijk het grootste getal dat er bestaat. De term “transfiniet” werd vroeger in het leven geroepen om het gebruik van de term “oneindigheid” te vermijden, waar veel wetenschappers toen huiverig tegenaan keken.

Lees verder

• Wiskundeangst, maak er gebruik van!
• Palindromen in de wiskunde
• Kansrekening: de stelling van de typende apen
• De vierkleurenstelling