Hoeveel breuken zijn er?

Een breuk is een verhouding van twee gehele getallen, ook wel een rationeel getal genoemd. Elk getal van de vorm a/b met a en b gehele getallen is dus een breuk. Omdat er twee gehele getallen nodig zijn om een breuk te schrijven lijkt het alsof er meer breuken dan gehele getallen bestaan. Dat is niet het geval. Er bestaan een oneindig aantal gehele getallen en een oneindig aantal breuken en van beide zijn er precies evenveel. Het tellen en vergelijken van oneindige verzamelingen leidt tot merkwaardige resultaten. Hieronder wordt met behulp van de verzameling van de breuken een inkijk geboden in de wondere wereld van de oneindigheid.

Tellen

Om te weten hoeveel er van iets is, moet er geteld worden. De dingen die een mens vóór zich ziet, zijn eenvoudig te tellen, maar bij meer abstracte zaken wordt het wat lastiger. Een breuk is zo'n redelijk abstract begrip, die zich lastig laat tellen. Een breuk heeft altijd de vorm a/b waarin a en b gehele getallen zijn. In al het volgende wordt er van uitgegaan dat zowel a als b positief zijn en ongelijk aan 0. De getallen a en b zijn, met andere woorden, natuurlijke getallen. Het getal a in de breuk a/b wordt de teller genoemd, het getal b de noemer. Om zulke abstracte zaken als breuken te tellen worden ze gezien als elementen van een verzameling. Elementen van een verzameling kunnen geteld worden door ze een voor een te koppelen aan de natuurlijke getallen: het eerste element aan 1, het tweede element aan 2, enzovoort. Om überhaupt te kunnen tellen, moeten de elementen van een verzameling dus geordend kunnen worden. Dat dit geen loze voorwaarde is, zal verderop nog blijken.

Om de breuken te tellen moeten ze geordend worden, dat wil zeggen, in een rij gezet worden. Pas als dat gedaan is, kan er geteld worden. De vraag die openstaat is hoeveel natuurlijke getallen er nodig zijn om het aantal breuken te tellen. Eigenlijk is het veel meer de vraag of er wel voldoende natuurlijke getallen bestaan om het aantal breuken te tellen. Immers, elke breuk kan geschreven worden als een verhouding (ratio) van twee natuurlijke getallen (ze worden dan ook vaak rationele getallen genoemd). Het is dan niet zo gek om te denken dat er veel meer breuken dan natuurlijke getallen zijn.

Breuken op een rij

Het meest voor de hand liggende voorstel om de breuken te ordenen is door ze op volgorde van grootte te zetten. Maar dat zal niet gaan. Om twee redenen. Ten eerste is er helemaal geen kleinste breuk. Voor elke breuk van de vorm a/b kunnen we een kleinere breuk van de vorm a/(b+1) maken. Het tweede probleem is dat er tussen twee willekeurige breuken altijd weer een oneindig aantal andere breuken ligt. Tussen 1/3 en 1/2 bijvoorbeeld ligt de breuk 5/12 en tussen 1/3 en 5/12 ligt 9/24, enzovoort, enzovoort. Zo kan een ordening van laag naar hoog nooit compleet zijn omdat er altijd een breuk (of, beter, een oneindig aantal breuken) nog tussen gezet moet worden. Beide feiten tezamen maken een ordening van de breuken van laag naar hoog volstrekt onmogelijk.

Toch kunnen ze geordend worden. De truc is om een matrix te maken waarin de tellers van de breuken de kolommen vormen en de noemers de rijen. De volgende diagram verduidelijkt dit.



Met behulp van dit diagram kunnen de breuken wel geteld worden. De cel links boven aan, dus die met teller en noemer gelijk aan 1, kan als het eerste getal genomen worden. Door langs de rij een cel af te zakken wordt de cel met de teller gelijk aan 1 en de noemer gelijk aan 2 bereikt. Dit is dan de tweede breuk. De volgende breuk wordt verkregen door langs de diagonaal omhoog te gaan. De daar staande breuk, 2/1, is dan het derde element. De volgende breuk die genomen wordt wordt verkregen door langs de rij een stap naar rechts te gaan. De breuk 3/1 is dan het derde element. Daarna kan weer afgedaald worden langs de diagonaal en kunnen de breuken in die cellen aan de ordening toegevoegd worden. De resulterende ordening van breuken is dan de volgende

• 1/1, 1/2, 2/1, 3/1, 2/2, 1/3, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, ...

Nu zijn de breuken geordend en kan er geteld worden. Duidelijk is dus dat het aantal breuken precies gelijk is aan het aantal natuurlijke getallen. Er bestaan oneindig veel natuurlijke getallen en er bestaan oneindig veel breuken. Maar nog belangrijker: beide oneindigheden zijn precies even groot. De laatste bewering mag triviaal klinken, maar is dat zeker niet. Verderop zal aangetoond worden dat er verzamelingen bestaan die groter zijn de verzameling van de natuurlijke getallen.

Dubbele breuken

Er is een probleem met de ordening van de breuken die zoeven gemaakt is dat opgelost moet worden. Veel breuken worden namelijk dubbel geteld. De breuk 1/2 is gelijk aan de breuken 2/4 en 4/8, enzovoort. Er zijn natuurlijk oneindig veel manieren om de breuk 1/2 te schrijven. Elke breuk van de vorm a/(2a) met a een willekeurige natuurlijk getal is gelijk aan 1/2. Dit geldt uiteraard voor alle breuken. Elke breuk kan op een oneindig aantal manieren geschreven worden. Wordt er in de procedure van zoeven niet teveel geteld en is de verzameling breuken niet kleiner dan de verzameling van de natuurlijke getallen?

Dat is niet het geval! Dat kan eenvoudig ingezien worden door de procedure een klein beetje aan te passen. De extra regel is dat wanneer een breuk al geteld is, dus wanneer de waarde van de breuk in een bepaalde cel al eens eerder voorgekomen is, dat dan de breuk gewoon wordt overgeslagen. Dit wordt getoond in de volgende diagram. Alle cellen met breuken die al eens eerder voorkwamen zijn daarin leeggelaten, in de andere is breuk zelf neergezet.



Duidelijk is te zien dat in elke rij en in elke kolom er altijd nieuwe breuken verschijnen. Ook zijn alle getallen in de eerste rij en in de eerste kolom in deze zin altijd nieuw. Dus met deze aangepaste telprocedure breuken wordt nog steeds dezelfde conclusie bereikt: er bestaan precies evenveel (echte) breuken als er natuurlijke getallen bestaan.

Opmerkenswaardige eigenschappen van oneindigheid

De voorgaande verhandeling laat zien dat de operationalisering van het begrip tellen als een een-op-een afbeelding van de tellen verzameling op de verzameling van natuurlijke getallen tot nogal wat verrassende conclusies leidt. De eerste is dat de verzameling van breuken precies even groot is als de verzameling van de natuurlijke getallen. De tweede verrassende conclusie is dat wanneer alleen de nieuwe breuken geteld worden, en er dus een oneindig aantal breuken worden weggelaten, nog steeds dezelfde volgt dat er evenveel breuken als natuurlijke getallen zijn. Uit een oneindig grote verzameling kunnen een oneindig aantal elementen weggehaald worden, zonder dat de verzameling zelf kleiner wordt. Deze bewering kan overigens veralgemeniseerd worden: elke oneindige verzameling heeft oneindige deelverzamelingen die precies even groot zijn als oorspronkelijke verzameling zelf.

Het is hierbij goed te beseffen dat dit logische consequenties zijn van de manier waarop het begrip tellen is gedefinieerd. Zou er een andere definitie van tellen komen - al zou ik niet weten hoe die er uit moet zien - dan worden, wellicht, andere conclusies bereikt.

Nog meer oneindigheden

Er zijn verzamelingen die groter zijn dan de verzameling van de natuurlijke getallen en dus ook groter dan de verzameling breuken. Het bekendste voorbeeld daarvan is de verzameling van de reële getallen, dus alle getallen die in de vorm van een (mogelijk oneindige) reeks van decimalen opgeschreven kunnen worden.

Om deze bewering te bewijzen nemen we alle reële getallen tussen 0 en 1. Dit is maar een deel van alle reële getallen. Een getal als 0.25 behoort tot deze verzameling, maar ook 1/3=0.33333333... (een breuk dus) en het getal π-3=0.1415926535... Van het laatste getal is bekend dat het niet als een breuk geschreven kan worden. Ook een getal als √2 -1 kan niet als een breuk geschreven worden (zie Waarom de klassieke logica geen strijdigheden accepteert voor een bewijs). Tussen 0 en 1 zitten dus nogal wat getallen die geen breuk zijn. Maar de vraag is of deze verzameling ook echt groter is dan de verzameling van de breuken.

Welnu, dat is inderdaad het geval. Het bewijs hiervoor, afkomstig van de Duitse wiskundige Georg Cantor, is werkelijk een parel. Het volgt het schema van een bewijs uit het ongerijmde. Tijdelijk wordt aangenomen dat de verzameling van de reële getallen tussen 0 en 1 even groot is als de verzameling van de natuurlijke getallen en vervolgens wordt bewezen dat deze aanname niet kan kloppen.

Als het zo is dat de getallen tussen 0 en 1 geteld kunnen worden, dan kan de verzameling geordend worden. Stel nu dat er zo'n ordening bestaat. Een indicatie van hoe dat er uit zou kunnen zien is gegeven in de volgende reek.

• 1 → 0.01033212....
• 2 → 0.59872345....
• 3 → 0.98977574....
• 4 → 0.28520981....
• 5 → 0.55523901....

Net als bij de ordening van de breuken is dit geen ordening van laag naar hoog. Het belangrijke punt is dat er aangenomen wordt dat een aftelbare ordening bestaat. Nu moet de vraag gesteld worden of deze opsomming volledig is. Als de reële getallen geteld kunnen worden, dan moet dat zo zijn, want anders missen we een getal en is de telling niet compleet.

De opsomming is echter niet compleet. Er kan altijd een getal geconstrueerd worden dat niet in de opsomming voorkomt. Om dat getal te maken nemen het eerste getal 0.01033212.... en veranderen daarin het het eerste cijfer na de komma. Dit is een 0. We kunnen er dus bijvoorbeeld een 1 van maken. Het eerste cijfer na de komma van het nieuwe getal is dus een 1. Het is zeker dat wat er ook na dit cijfer komt, dat het niet gelijk is aan het eerste getal in de opsomming (namelijk 0.01033212....).

Vervolgens kan het tweede getal genomen worden. Dat is gelijk aan 0.59872345..... Hiervan nemen we het tweede cijfer achter de komma en veranderen dat. Het tweede cijfer is een 9. Dat kan veranderd worden in een 0. Deze nul zetten achter het getal dat we aan het maken zijn. Het voorlopig resultaat is dus 0.10. Wederom, wat er ook na deze 0 komt, het getal zal anders dan het tweede getal in de opsomming. Het is al bekend dat dit getal ook afwijkt van het eerste getal in de opsomming. Deze procedure kan nu herhaald worden voor alle getallen in de opsomming. Het nieuwe getal is dus een andere dan alle getallen die al in de opsomming voorkwamen. De opsomming was dus niet compleet. Een complete opsomming is gewoon niet mogelijk. De verzameling van de reële getallen tussen 0 en 1 is daarmee groter dan de verzameling van de natuurlijke getallen en groter dan de verzameling van breuken. Deze verzameling is op deze manier niet te tellen. Er is dus een oneindigheid die groter is dan de oneindigheid van de natuurlijke getallen. Deze nieuwe (en grotere) oneindigheid wordt dan ook een niet-aftelbare oneindigheid genoemd.

Het kan nog erger. Hier zal het bewijs niet gegeven worden, al is het via de truc van Cantor betrekkelijk eenvoudig te leveren, maar elke machtsverzameling van een oneindige verzameling is altijd groter dan de verzameling zelf. Een machtsverzameling is de verzameling van alle deelverzamelingen van een gegeven verzameling. Als vervolgens weer de machtsverzameling van de machtsverzameling wordt genomen, wordt weer een grotere verzameling verkregen. Dat kan tot in het oneindige doorgaan. Er zijn dus een oneindig aantal oneindigheden.

Slotwoord

Hoe prikkelend dit alles ook is, het is niet meer dan het allereerste begin van de theorie van oneindige verzamelingen. Daar liggen nog veel meer verrassingen klaar. De geïnteresseerde lezer zij verwezen naar de boeken in de literatuurlijst. Hier is niet meer gedaan dan tonen dan dat een logisch gebruik van het begrip tellen toegepast op oneindige verzamelingen al snel tot buitengewoon aansprekende resultaten leidt.