InfoNu.nl > Wetenschap > Wiskunde > Straal cirkel door drie punten bepalen

Straal cirkel door drie punten bepalen

Straal cirkel door drie punten bepalen Indien men het oppervlak en/of de omtrek van een cirkel weet, dan kan daaruit snel de straal worden achterhaald. Dit wordt anders als men door drie verschillende punten of coördinaten een cirkel moet maken. Het is daarbij de vraag wat de feitelijke straal is en waar het middelpunt ligt. Hoe kan op basis van drie coördinaten (oftewel lengte van de drie zijden is bekend) de straal van een cirkel worden bepaald?

Straal cirkel door drie punten bepalen


Omtrek en oppervlak

De omtrek van een cirkel is vastgelegd met de volgende relatie: O = 2*π*r = π*d met daarin r = straal, d = diameter en π = 3,14 (afgerond). Oftewel de diameter past 3,14 maal in de omtrek. Weet men de omtrek, dan kan daaruit direct de straal worden bepaald:
  • r = O / (2*π) bij een O = 31,41 geldt r = 34,41 / (2*π) = 5;
  • d = O / π geldt r = 34,41 / π = 10.

Het oppervlak van een cirkel wordt uitgedrukt in de volgende relatie: A = π*r^2 = ¼*π*d^2. Daarin is r de straal en d de diameter. Is het oppervlak bekend, dan kan uit deze vergelijking rechtstreeks de straal en diameter worden bepaald. Oftewel:
  • r = √(A/π) bij een A = 78,53 geldt √(78,53/π) = √25 = 5;
  • d = √(4*A/π) hierbij geldt √(4*78,53/π) = √100 = 10 = 2*5.

Basis en hoek

Indien men de lengte van de basis kent en de overige zijden zijn even lang, dan kan het worden bepaald met L/√3. Is slechts de basis en overliggende hoek bekend, dan geldt 2r = a/sinA = b/sinB = c/sinC. Oftewel:
  • r = L/√3 bij een basislengte van L = 8,66 geldt r = 8,66/√3 = 5;
  • r = a/(2*sinA) bij een a = 8,66 en A = 60° geldt r = 8,66 / (2*sin60°) = 5.

Maar wat moet men doen als men drie punten of coördinaten heeft?

Drie coördinaten vertalen naar afstand

Heeft men drie punten oftewel coördinaten, dan staat de straal van de cirkel vast. Het wordt daarbij bepaald door de onderlinge afstand tussen deze punten. Oftewel men moet de coördinaten vertalen naar de werkelijke tussenafstand. Stel punt A ligt op (x1,y1), punt B op (x2,y2) en punt C op (x3,y3) dan geldt voor de tussenafstand het volgende:
  • lengte A-B = √[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2];
  • lengte A-C = √[(x3-x1)^2+(y3-y1)^2];
  • lengte B-C = √[(x3-x2)^2+(y3-y2)^2].

Stel A ligt op (0,0), B ligt op (2,3) en C ligt op (4,5), wat zijn dan de verschillende lengten tussen de punten?:
  • lengte A-B = √[(2-0)^2+(3-0)^2] = √13 = 3,60;
  • lengte A-C = √[(4-0)^2+(5-0)^2] = √41 = 6,40;
  • lengte B-C = √[(4-2)^2+(5-3)^2] = √8 = 2,82.

Omdat één zijde ten opzichte van de andere twee relatief lang is, gaat het om een langwerpig en platte driehoek. Dit zal resulteren in een relatief grote straal. Uiteraard kan men ook de lengte van de drie schuinen rechtstreeks opmeten, zodat men het direct in de volgende formule kan invullen.

Straal cirkel bepalen met drie lengten

Op basis van voorgaande lengten kan middels volgende formule de lengte van de straal worden bepaald.
  • r = A*B*C / √[(A+B+C)*(A+B-C)*(A+C-B)*(B+C-A)];
  • r = √13*√41*√8/√[(√13+√41+√8)*(√13+√41-√8)*(√13+√8-√41)*(√41+√8-√13)];
  • r = 65,30 / √[12,84*7,18*0,03*5,62] = 16,56.

Stel men weet de volgende lengtes A = 5,2, B = 8,7 en C = 10 dan bedraagt de straal:
  • r = 5,2*8,7*10 / √(5,2+8,7+10)*(5,2+8,7-10)*(5,2+10-8,7)*(8,7+10-5,2);
  • r = 452,4 / √[23,9*3,9*6,5*13,5] = 452,4/90,4 = 5,00.

Door vanaf de drie punten de berekende straal te tekenen, vindt men bij het kruispunt het middelpunt van de cirkel. Trek daarna vanaf het gevonden middelpunt de straal, zodat de drie coördinaten worden gekruist.

Lees verder

© 2015 - 2017 Geinformeerd, het auteursrecht van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Pi, getallen tot in het oneindigePi, getallen tot in het oneindigeHet getal Pi, oneindig gebruikt in de wiskunde, met oneindig veel decimalen achter de komma. Wat is ‘het geheim’ achter…
Hoe reken je het weerstandsmoment uit?Hoe reken je het weerstandsmoment uit?Om de sterkte van een balk te kunnen uitrekenen moet worden gecheckt in hoeverre het weerstandsmoment voldoet. Ieder vor…
Ligging van neutrale lijn samengestelde ligger of oppervlakLigging van neutrale lijn samengestelde ligger of oppervlakComplexe vormen bestaande uit vierkanten, ronde delen, uitstekende strips enzovoorts kunnen een constructief sterke vorm…
Kwadratuur van de CirkelKwadratuur van de CirkelHet was een onopgelost geometrisch probleem voor de oude Grieken en dat zou het nog heel lang blijven: hoe construeer je…
Formule van ChézyFormule van ChézyDe formule van Chézy is een formule die voortkomt uit de vloeistof leer. De zeer bekende formule is in 1775 ontwikkeld d…
Bronnen en referenties
  • Onderstaande bronnen zijn geraadpleegd op 12 mei 2015:
  • http://www.wetenschapsforum.nl/index.php/topic/54886-straal-cirkel-berekenen-door-3-punten/
  • http://www.mathopenref.com/lawofsines.html

Reageer op het artikel "Straal cirkel door drie punten bepalen"

Plaats als eerste een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Infoteur: Geinformeerd
Laatste update: 21-03-2017
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Special: Zwaartepunt
Bronnen en referenties: 3
Schrijf mee!