Complexe getallen

In het dagelijks leven rekenen we met getallen uit de reële verzameling R. Complexe getallen, of getalparen, zijn een uitbreiding hierop. De uitbreiding op een reëel getal is het imaginaire gedeelte van een complex getal: j = √-1. We nemen aan dat de wortel uit een negatief getal bestaat, en dat een complex getal z = x + jy. De getallen (x) en (y) zijn onderdeel van R, maar (z) is onderdeel van C, de verzameling complexe getallen.

Complex getal

Normaliter zijn we gewend om met getallen te uit de verzameling N of R rekenen, dat wil zeggen:

we gebruiken getallen uit de reeks natuurlijke getallen (N) 0, 1, 2, 3..,, 35, 36, 37, .....,
of uit de verzameling reële getallen (R) = (N), met als uitbreiding gebroken-, of kommagetallen.

Zo is het getal 5,67391 een getal uit de verzameling R. Complexe getallen zijn een uitbreiding op de reële getallenverzameling. Een complex getal bestaat uit een reëel en een imaginair gedeelte, om het imaginaire gedeelte aan te duiden, nemen we aan:

het getal j = √-1
j ² = -1

De notatie voor een complex getal is:

z = x + j y

Alle getallen of getalparen (x,y) die een complex getal vormen zijn onderdeel van de verzameling complexe getallen C. Deze uitbreiding op R (of R²) levert nieuwe rekenmethodes op.

Complexe getallen zijn te beschouwen als elementen van een twee-dimensionale ruimte; hiermee kunnen we allerlei problemen zichtbaar maken (en oplossen) in het complexe vlak, rekenen met vectoren (pijlen), en oplossingen vinden voor vergelijkingen met periodieke functies. De twee dimensies zijn:

variabele x = reële gedeelte (z)
variabele y = imaginaire gedeelte (z)

Het complexe vlak

algemene notatie

-fig 1- / Bron: Tronic

In het complexe vlak kunnen complexe getallen worden afgebeeld. Een complex vlak is een 2-dimensionaal vlak met een (horizontale) reële as en een (verticale) imaginaire as.

Stel een complex getal z = a + jb, dan zal dit getal een punt in het complexe vlak voorstellen met coördinaten (a,b) - zie figuur 1:

het punt (3,2) of z = 3 + 2j is aangeduid met de stippellijnen. Wanneer het reële gedeelte van een complex getal gelijk is aan nul, schrijft men z = 0 + jb = jb (=0,1).

Het getal z = j kan men dus noteren als:

z = j
(0,1)

Rekenregels voor complexe getallen zijn:

optellen

(a + jb) + (c + jd) = (a+b + j(c+d))

vermenigvuldigen

(a + jb) * (c + jd) = (ac-bd + j(ad+bc))

reciproke

1/(a + jb) = (a - jb)/(a² + b²)

(a + jb)/(c + jd) = [(ac + bd) + j(bc - ad)]/(c² + d²)

-fig 2- / Bron: Tronic

Vaak wordt rekenen aan vergelijkingen voor periodieke signalen afgebeeld met ronddraaiende vectoren in het complexe vlak.

Voor de lengte en de richting van een vector geldt:

lengte = | z | = √ [ (im)² + (re)² ]
richting = argument = arctangens [im/re]

voorbeeld van de vector die wijst naar P(2,-2):

lengte = √ [ (im)² + (re)² ] = √ [ 2² + (-2)² ] = √ 8 ≈ 2.83
argument = arctg [im/re] = arctg [-2/2] = arctg [-1] = - 45 graden

Voor de richting van een vector mogen we de hoek nemen die een vector met de reële as maakt (draairichting linksom = positief).

Periodieke functies

Een periodieke functie is een functie die periodiek (per periode) dezelfde waarden aanneemt zoals sin(x) of cos(t). We kunnen een periodieke functie in het complexe vlak voorstellen als een ronddraaiende vector.

-fig 3- / Bron: Tronic

Stel een vector met lengte 1 draait rond met hoeksnelheid ω (= 2π f t). De projectie van de vector op de imaginaire as is gelijk aan sin(ωt), en de projectie op de reële as is cos(ωt).
Als we bekijken welk complex getal de vector telkens aanwijst, dan vinden we de uitdrukking: z = re + j im = cos(ωt) + j sin(ωt)

Zie figuur 3, een andere schrijfwijze voor dit complexe getal is:

exp (jx) = cos(x) + j sin(x)

re [exp (jx)] = cos(x)
im [exp (jx)] = sin(x)

Uitgebreide schrijfwijze:

exp(a + jb) = exp(a) (cos(b) + j sin(b))

Tweedegraads vergelijkingen

-fig 5- / Bron: Tronic

Een standaardvorm van een tweedegraadsvergelijking is:

ax² + bx + c = 0

Deze vergelijking heeft ,voor getallen uit R2, twee mogelijke oplossingen voor x, een mogelijke oplossing voor x, of geen oplossing mogelijk. Dit nt .

x1,2 = (-b ± √ D ) / 2a, D (=b²- 4ac)
(D>0) -- de vergelijking heeft 2 oplossingen (x1 en x2)
(D=0) -- één oplossing voor x
(D<0) -- geen oplossing.

Voor de verzameling getallen uit de verzameling C -alle complexe getallen- heeft de tweedegraadsvergelijking complexe oplossingen als (D<0), deze oplossingen zijn:

x1,2 = (-b ± j√d ) / 2a

(√D = ± j√d )

bijvoorbeeld:
2x² + x + 1 = 0
√D = √(b²- 4ac) = √(1-8) = √(-7) = ± j√7
x1,2 = (-1 ± j√7) / 4

voorbeeld gedempte trilling (periodiek signaal)
Op een seriegeschakelde spoel L, capaciteit C, en weerstand R wordt een constante spanning U aangesloten. De vergelijking voor de stroom door de componenten is:

i * R + L (di/dt) + 1/C ∫ ic dt = U
i (R + sL + 1/sC) = U
ω = 1/√(LC)
Ω = R/2L
i (s² + 2Ωs + ω²) = s/L U

-fig 4- / Bron: Tronic

Wanneer de spanningsbron U wordt uitgeschakeld zal de rechterterm (s/L * U) gelijk zijn aan nul, de vergelijking wordt dan:

i (s² + 2Ωs + ω²) = 0

Afhankelijk van de waarden van Ω en ω heeft deze vergelijking verschillende typen oplossingen. Voor Ω < ω zal de oplossing voor deze vergelijking een gedempte trilling zijn.

De stroomfunctie ziet er zo uit:

i(t) = exp(-Ωt) [C sin(ωt) + D cos(ωt)]

Complexe getallen

Complex getal

Het complexe vlak

Periodieke functies

Tweedegraads vergelijkingen

Bronnen en referenties

Reacties