InfoNu.nl > Wetenschap > Wiskunde > Complexe getallen

Complexe getallen

Complexe getallen In het dagelijks leven rekenen we met getallen uit de reële verzameling R. Complexe getallen, of getalparen, zijn een uitbreiding hierop. De uitbreiding op een reëel getal is het imaginaire gedeelte van een complex getal: j = √-1. We nemen aan dat de wortel uit een negatief getal bestaat, en dat een complex getal z = x + jy. De getallen (x) en (y) zijn onderdeel van R, maar (z) is onderdeel van C, de verzameling complexe getallen.

Complex getal

Normaliter zijn we gewend om met getallen te uit de verzameling N of R rekenen, dat wil zeggen:
  • we gebruiken getallen uit de reeks natuurlijke getallen (N) 0, 1, 2, 3..,, 35, 36, 37, .....,
  • of uit de verzameling reële getallen (R) = (N), met als uitbreiding gebroken-, of kommagetallen.

Zo is het getal 5,67391 een getal uit de verzameling R. Complexe getallen zijn een uitbreiding op de reële getallenverzameling. Een complex getal bestaat uit een reëel en een imaginair gedeelte, om het imaginaire gedeelte aan te duiden, nemen we aan:

  • het getal j = √-1
  • j ² = -1

De notatie voor een complex getal is:

  • z = x + j y

Alle getallen of getalparen (x,y) die een complex getal vormen zijn onderdeel van de verzameling complexe getallen C. Deze uitbreiding op R (of R²) levert nieuwe rekenmethodes op.

Complexe getallen zijn te beschouwen als elementen van een twee-dimensionale ruimte; hiermee kunnen we allerlei problemen zichtbaar maken (en oplossen) in het complexe vlak, rekenen met vectoren (pijlen), en oplossingen vinden voor vergelijkingen met periodieke functies. De twee dimensies zijn:

  • variabele x = reële gedeelte (z)
  • variabele y = imaginaire gedeelte (z)

Het complexe vlak

algemene notatie

-fig 1- / Bron: Tronic-fig 1- / Bron: Tronic
In het complexe vlak kunnen complexe getallen worden afgebeeld. Een complex vlak is een 2-dimensionaal vlak met een (horizontale) reële as en een (verticale) imaginaire as.

Stel een complex getal z = a + jb, dan zal dit getal een punt in het complexe vlak voorstellen met coördinaten (a,b) - zie figuur 1:

het punt (3,2) of z = 3 + 2j is aangeduid met de stippellijnen. Wanneer het reële gedeelte van een complex getal gelijk is aan nul, schrijft men z = 0 + jb = jb (=0,1).

Het getal z = j kan men dus noteren als:
  • z = j
  • (0,1)

Rekenregels voor complexe getallen zijn:

optellen
  • (a + jb) + (c + jd) = (a+b + j(c+d))
vermenigvuldigen
  • (a + jb) * (c + jd) = (ac-bd + j(ad+bc))
reciproke
  • 1/(a + jb) = (a - jb)/(a² + b²)
delen
  • (a + jb)/(c + jd) = [(ac + bd) + j(bc - ad)]/(c² + d²)

-fig 2- / Bron: Tronic-fig 2- / Bron: Tronic
Vaak wordt rekenen aan vergelijkingen voor periodieke signalen afgebeeld met ronddraaiende vectoren in het complexe vlak.

Voor de lengte en de richting van een vector geldt:
  • lengte = | z | = √ [ (im)² + (re)² ]
  • richting = argument = arctangens [im/re]

voorbeeld van de vector die wijst naar P(2,-2):

lengte = √ [ (im)² + (re)² ] = √ [ 2² + (-2)² ] = √ 8 ≈ 2.83
argument = arctg [im/re] = arctg [-2/2] = arctg [-1] = - 45 graden

Voor de richting van een vector mogen we de hoek nemen die een vector met de reële as maakt (draairichting linksom = positief).

Periodieke functies

Een periodieke functie is een functie die periodiek (per periode) dezelfde waarden aanneemt zoals sin(x) of cos(t). We kunnen een periodieke functie in het complexe vlak voorstellen als een ronddraaiende vector.

-fig 3- / Bron: Tronic-fig 3- / Bron: Tronic
Stel een vector met lengte 1 draait rond met hoeksnelheid ω (= 2π f t). De projectie van de vector op de imaginaire as is gelijk aan sin(ωt), en de projectie op de reële as is cos(ωt).
Als we bekijken welk complex getal de vector telkens aanwijst, dan vinden we de uitdrukking: z = re + j im = cos(ωt) + j sin(ωt)

Zie figuur 3, een andere schrijfwijze voor dit complexe getal is:

  • exp (jx) = cos(x) + j sin(x)

  • re [exp (jx)] = cos(x)
  • im [exp (jx)] = sin(x)

Uitgebreide schrijfwijze:

  • exp(a + jb) = exp(a) (cos(b) + j sin(b))

Tweedegraads vergelijkingen

-fig 5- / Bron: Tronic-fig 5- / Bron: Tronic
Een standaardvorm van een tweedegraadsvergelijking is:

  • ax² + bx + c = 0

Deze vergelijking heeft ,voor getallen uit R2, twee mogelijke oplossingen voor x, een mogelijke oplossing voor x, of geen oplossing mogelijk. Dit nt .
  • x1,2 = (-b ± √ D ) / 2a, D (=b²- 4ac)
  • (D>0) -- de vergelijking heeft 2 oplossingen (x1 en x2)
  • (D=0) -- één oplossing voor x
  • (D<0) -- geen oplossing.
Voor de verzameling getallen uit de verzameling C -alle complexe getallen- heeft de tweedegraadsvergelijking complexe oplossingen als (D<0), deze oplossingen zijn:

x1,2 = (-b ± j√d ) / 2a

(√D = ± j√d )

bijvoorbeeld:
2x² + x + 1 = 0
√D = √(b²- 4ac) = √(1-8) = √(-7) = ± j√7
x1,2 = (-1 ± j√7) / 4

voorbeeld gedempte trilling (periodiek signaal)

Op een seriegeschakelde spoel L, capaciteit C, en weerstand R wordt een constante spanning U aangesloten. De vergelijking voor de stroom door de componenten is:

i * R + L (di/dt) + 1/C ∫ ic dt = U
i (R + sL + 1/sC) = U
ω = 1/√(LC)
Ω = R/2L
i (s² + 2Ωs + ω²) = s/L U

-fig 4- / Bron: Tronic-fig 4- / Bron: Tronic
Wanneer de spanningsbron U wordt uitgeschakeld zal de rechterterm (s/L * U) gelijk zijn aan nul, de vergelijking wordt dan:

i (s² + 2Ωs + ω²) = 0

Afhankelijk van de waarden van Ω en ω heeft deze vergelijking verschillende typen oplossingen. Voor Ω < ω zal de oplossing voor deze vergelijking een gedempte trilling zijn.

De stroomfunctie ziet er zo uit:

  • i(t) = exp(-Ωt) [C sin(ωt) + D cos(ωt)]
© 2011 - 2017 Tronic, het auteursrecht (tenzij anders vermeld) van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Soorten getallenIn de wiskunde zijn verschillende soort getallen bekend. Deze soorten getallen hebben allen hun eigen eigenschappen. Zo…
De formule van EulerDe formule van EulerDe formule van Euler is volgens sommigen de mooiste vergelijking ooit. Stel het getal j = √-1, dit getal lijkt nie…
Vierkantsvergelijkingen en hoe ze op te lossenVierkantsvergelijkingen en hoe ze op te lossenEen vierkantsvergelijking is in de wiskunde een vergelijking in de van de vorm ax^2+bx+c=0. Hierbij zijn a,b en c consta…
De getallenverzameling der natuurlijke getallenDe getallenverzameling der natuurlijke getallenDeze verzameling getallen mag beschouwd worden als opgebouwd uit de eenvoudigste getallen die we kennen. Het zijn de get…
Oplossen van vergelijkingen met de positieve gehele getallenOplossen van vergelijkingen met de positieve gehele getallenEen wiskundige vergelijking bestaande uit positieve gehele getallen is een gelijkheid waarin een onbekende term x verwer…
Bronnen en referenties
  • Inleidingsfoto: Tronic
  • Afbeelding bron 1: Tronic
  • Afbeelding bron 2: Tronic
  • Afbeelding bron 3: Tronic
  • Afbeelding bron 4: Tronic
  • Afbeelding bron 5: Tronic

Reageer op het artikel "Complexe getallen"

Plaats een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Reacties

Jan van der Zanden, 05-01-2014 01:33 #3
L.S.
Ik ben op zoek naar de eerste auteur die de link legde tussen complexe wiskunde (als boven gemeld) en periodieke elektrische signalen. Hoe kwam hij daar op? Dat moet na de stelling van Euler zijn geweest… Ik heb de indruk dat het niet Euler zelf was. Ik ken het nergens vinden.
Weet u wie dat was en is de publicatie ergens in te zien?
Bij voorbaat mijn dank.
met groet,
Jan Reactie infoteur, 05-01-2014
Hallo Jan,

Goede vraag. Ik denk zeker dat Maxwell een van diegenen geweest moet zijn: de differentiaalvergelijkingen van Maxwell hebben periodieke oplossingen.

Mvg Tronic

Tronic (infoteur), 30-11-2012 15:48 #2
Ah, dank u. Ik zal het veranderen.

Hessel de Haan, 25-11-2012 21:07 #1
Het getal N is niet een geheel getal zoals vermeld in het artikel. N staat voor alle natuurlijke getallen. De natuurlijke getallen lopen van 1 tot oneindig. Hierbij moet ik wel vermelden dat sommige literatuur ook het getal 0 hier aan toe voegt. Beide reeksen voldoen aan de omschrijving N.

Infoteur: Tronic
Laatste update: 05-02-2017
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Bronnen en referenties: 6
Reacties: 3
Schrijf mee!